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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

直流電源にコイルとコンデンサーとスイッチが接続された図1のような電気回路を考える。コイルの自己インダクタンスをL,単位長さ当たりの巻き数をnとし、コイルに流れる電流はaの矢印の向きを正とする。直流電源の電圧はV,コンデンサーの静電容量はCであり、電源には抵抗値rの内部抵抗がある。
Ⅰ,Ⅱの最初の状態ではともに、スイッチは全て開いており、電気回路には電流は流れておらず、コンデンサーに電荷はなかった。以下の空欄に入れるべき適切な式を、解答欄に記入せよ。ただし、
(7)(13)では、{  }から正しいものを1つ選択し、(16)(17)では正しいものを全て選択し、解答欄に記入せよ。

Ⅰ.最初の状態からスイッチを閉じると、コイルに電流が流れる。十分短い時間の間に電流がだけ変化した。この時、コイルに生ずる誘導起電力の大きさは、Lを用いるとと表せる。
その後、十分時間が経過すると、電流の大きさは一定になった。この時、コイルに流れる電流の大きさはであり、コイルで生じる磁場の強さは、nVrを用いるとである。

Ⅱ.最初の状態からスイッチを閉じると、コンデンサーに電荷が蓄えられはじめる。十分時間が経過した後に、コンデンサーに蓄えられる電荷量はであり、静電エネルギーはである。
次に、を開いてを閉じると、コンデンサーが放電をし始め、コイルに電流が図1aの矢印の向きに流れ始める。を閉じた直後の短い時間における電流の変化率である。コンデンサーの電荷がゼロになる時、コイルにはの矢印の向きに電流が流れており、コンデンサーは、を閉じる前と正負が逆に充電され始める。しばらくすると再び放電が始まる。このように充電と放電が繰り返される結果、コンデンサーとコイルの間には振動電流が流れつづける。この振動電流の角周波数をωとする。このωを用いると、コンデンサーのリアクタンスはであり、コイルのリアクタンスはである。コンデンサーおよびコイルにかかる電圧の最大値はVなので、振動電流の最大値は、VCωを用いるとであり、VLωを用いるとと表せる。コイルとコンデンサーに流れる振動電流の最大値は等しいので、ωと求められる。を閉じた時点からのコイルに流れる電流Iの時間変化は、図2である。コンデンサーとコイルに蓄えられるエネルギーの和は一定なので、コイルで発生する磁場の強さの最大値は、nVCLを用いるとである。
次に強い磁場を発生させることを考えよう。コイルの長さと断面積をそれぞれ
Aとする。コイルの半径に比べては十分に大きいので、コイル内部には一様な磁場ができている。真空の透磁率をとし、nAを用いると、コイルの自己インダクタンスLは、である。一方、コンデンサーは平行平板コンデンサーであり、その極板の間隔と面積はそれぞれdWである。また、真空の誘電率をとする。磁場の強さを大きくするには、の値を小さくし、の値を大きくすればよい。

解答 コイルとコンデンサーの回路の基本問題です。

(1) コイルに生じる誘導起電力の大きさは、 ......[]
(2) 充分時間が経過して電流が一定になるとコイルに生じる誘導起電力はゼロで、オームの法則より、コイルに流れる電流の大きさは、 ......[]
(3) コイルで生じる磁場の強さは、 ......[]

(4) コンデンサーに蓄えられる電気量は、 ......[]
(5) コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、 ......[] (コンデンサーの過渡現象を参照)
(6) を閉じた直後、コンデンサーの上側極板から正電荷が流れ始め、となります。このとき、,コイル両端の電圧はコンデンサーの電圧に等しくVなので、
 ∴ ......[]
(7) コンデンサーの電荷がゼロになってもコイルは電流をそのまま流し続けようとするので、このときのコイルの電流の向きは(a) ......[]
(8) 振動電流角周波数ω のとき、コンデンサーのリアクタンスは、
......[] (振動回路を参照)
(9) コイルのリアクタンスは、 ......[]
(10) コンデンサーの電流の最大値をとして、
......[]
(11) コイルの電流の最大値は、
......[]
(12) (10)(11)電流を等しいとおくと、
......[]
(13) を閉じた時点()で、コイルは電流を流そうとしないのでです。時間経過に従って正方向に電流が流れ始め、コンデンサーの電荷がゼロになった時点でとなり、それ以降コンデンサーの上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が蓄えられるのに従って電流が減少します。こういう変化をしているグラフは、(d) ......[]
(14) より、コイルに発生する磁場の強さの最大値は、
......[]
(15) コイルに電流Iが流れているとき、コイル内部に発生する磁場の強さは、
コイル内部の磁束密度は、
コイルを貫く
磁束は、
コイルの総巻き数はで、
電磁誘導の法則より、コイルに発生する誘導起電力は、
より、コイルの自己インダクタンスは、 ......[] (自己誘導を参照)
(16) (15)より、磁場の強さの最大値は、
これより、を大きくするためにはdA ......[] を小さくし、
(17) W ......[] を大きくすればよいことになります。


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  1. 2013/09/12(木) 11:33:47|
  2. 13年物理
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阪大理系数学'13年前期[4]

阪大理系数学'13年前期[4]

xyz空間内の3OABを頂点とする三角形OABx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 問題文を一見してぎょっとしますが、断面を考えていけば素直に解決します。

直円錐をその軸に平行な平面で切ると、切り口に双曲線ができます。
三角形
OABx軸のまわりに1回転させてできる円錐Vを、x軸に平行な平面 ()で切ると、切り口にやはり双曲線ができます。
この双曲線の頂点は、直線
OBと、平面との交点Cになります。
円錐
Vの底円は、点Aを中心とする半径1の円で、この円はx軸と垂直です。
この円の円周と平面との交点は、です。プラスの方を
P,マイナスの方をQとし、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ると、3CPQを通る放物線と線分PQとで囲まれる図形Wy軸のまわりに回転させた図形が切り口にできます。
図形
W内の点でy軸との距離が最小となる点はCで、最大となる点はPQです。
図形
Wy軸のまわりに1回転させると、Dを中心とし、DPを半径とする円からDCを半径とする円を除いた図形Uになります。
この図形
Uが、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ったときにできる図形です。

より、図形Uの面積は、
求める体積は、立体がxy平面に関して対称であることを考慮して、
......[]


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  1. 2013/09/03(火) 11:39:56|
  2. '13年数学
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阪大理系数学'13年前期[3]

阪大理系数学'13年前期[3]

4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。

解答 ぱっと見には方針が立ちませんが,素数を22以外に分けると、偶数か奇数か、ということになり、それなら、3の倍数かどうかと調べてゆくと、嫌でも解決してしまいます。なお、整数を参照してください。

だとすると、です。このとき、ですが、これは素数ではありません。
3以上の素数だとすると、は奇数でnは偶数です。
このとき、はいずれも奇数で、素数の可能性があり、偶奇を考えるだけでは題意を示すことができません。
そこで、
n3の倍数かどうかを考えてみます。
(i) nは偶数なのでkを偶数として、のとき、3の倍数で素数ではありません。
(ii) kを奇数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性があります。
3の倍数なので素数ではありません。
(iii) kを偶数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性がありますが、
3の倍数なので素数ではありません。
以上ですべての自然数nの場合を尽くしているので、がすべて素数となるような正の整数nは存在しません。(証明終)


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  1. 2013/08/14(水) 22:37:53|
  2. '13年数学
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阪大理系数学'13年前期[2]

阪大理系数学'13年前期[2]

不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。

解答 素直に場合分けしてしまうと16通りに分けることになりますが、これでは、試験会場で時間的に厳しくなります。

とします。
のとき与不等式が成立するとします。つまり、

 ・・・①
が成立するとします。
与不等式で、としても①と同じになり、与不等式は成立します
(実数の絶対値を参照)
同様に、のとき与不等式が成立しないとすると、のときにも与不等式は成立しません。
従って、第
1象限で領域Dを求めておけば、領域Dy軸に関して対称な領域,領域Dと原点に関して対称な領域、領域Dx軸に関して対称な領域も与不等式が表す領域となります。
のとき、より、与不等式は、

となります。
(i) のとき、与不等式は、
(ii) のとき、与不等式は、
(iii) のとき、与不等式は、
(iv) のとき、与不等式は、
(i)(iv)を図示すると領域Dは、右上図黄緑色着色部(境界線を含む)
これと
y軸に関して対称な領域、原点に関して対称な領域、x軸に関して対称な領域を合わせて、求める領域は右下図黄緑色着色部(境界線を含む)


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  1. 2013/08/14(水) 22:36:16|
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阪大理系数学'13年前期[1]

阪大理系数学'13年前期[1]

三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。

解答 教科書をまる暗記せよということではないと思いますが、その場で考えるとしても、右図の状況と、の場合に注意することは覚えておきたいものです。

直角三角形
OABにおいて、 (x弧度法で測るものとします。です)とし、Oを中心とする円とOCとの交点をBとします。
面積,扇形OABの面積はの面積は
は扇形
OABを含み、扇形OABを含むので、
 ()
なので、で各辺を割ると、
各辺の逆数について、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、
の場合については、として、
()とおくと、のとき、
より、のとき、で、

以上より、
として、




注.のとき、
 (微分の公式を参照)


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  1. 2013/08/14(水) 22:35:09|
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