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早大理工数学'12年[2]

早大理工数学'12[2]

初項をとし、以下の漸化式で定まる数列を考える。
 ()
ただし、xを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
(1) とする。このとき、となる最小のnを求めよ。
(2) m2以上の整数とし、とする。このとき、をみたすjに対してjmで表せ。
(3) m2以上の整数、pをみたす整数とし、とする。このとき、となるkを求めよ。さらに、となる最小のnを求めよ。

解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。などとして、,・・・ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。

(1) のとき、








よって、となる最小のnは、 ......[]

(2) のとき、

()より、

からを求めるときと同様にして、
これより、

と予測できます。以下、数学的帰納法により、予測が成立することを示します。
() のとき、
より、予測は成り立ちます。
() ()のとき、予測が成り立つと仮定すると、となります。
()より、
よって、 ()のときも予測は成立します。
()()より、予測は、を満たすjについて成立します。よって、を満たすjについて

......[]

(3) (2)までと同様にして数列の各項を計算してみると、
()のとき、より、
より、
 ・・・①
となり、としたときのと比べると、同士の差pが、同士の差ではになり、1小さくなります。このまま、,・・・,と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、としたときのが、としたときのに近づいて行きそうです。①と同様にして、実際、
・・・・・・
 ・・・②
となるので、となったとき、
 ・・・③
となります。よって、となるkは、 ......[]
以後の項については、(2)と同様に、とした場合を考えると、

となります。従って、のときには、③より、として、
 ・・・④
となります。但し、数列の各項は、第n項でになってしまうと、
となり、となる全ての第項はとなってしまい、④が意味を持たなくなります。④が意味を持つのは、,つまり、()のときです。
においては、ですが、
のとき、

となります。これより、となる最小のnは、 ......[]
注.②で、とすると、


となり、以外に、という場合が出てくるのですが、なので、
 
(等号は、のとき)
となり、は、という条件を満たしません。
また、④で、とすると、の他に、という場合が出てきますが、やはり、という条件を満たしません。


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  1. 2012/02/19(日) 15:25:56|
  2. 12年数学
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  4. | コメント:0

早大理工数学'12年[1]

早大理工数学'12[1]

以下の問いに答えよ。
(1) 複素数αβ に対してならば、またはであることを示せ。
(2) 複素数αに対してが正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
(3) 複素数,・・・, (nは自然数)に対して、,・・・,,・・・,およびがすべて正の実数であるとする。このとき、,・・・,はすべて実数であることを示せ。

解答 現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。

以下、
iを虚数単位()とします。
(1) pqrsを実数として、とします。
 (複素数の計算を参照)




または
または
別解.上記と実質的に同じですが、絶対値を用いれば以下のように書けます。
または
または

(2) pqを実数として、とします。
は正の実数 かつ
だとすると、を満たす実数qが存在しないので、
,つまり、です。
よって、
αは実数です。
別解.複素数α偏角 ()と表すと、の偏角は、 (偏角argにはlogのような性質があります)です。が正の実数だとすると、として、
 ∴
よって、αは実数です。

(3) となる、ある整数kに対して、を実数として、として、と仮定します。
のときは、

これが、正の実数であるとき、
かつ

より、
つまり、
同様に、であれば、
また、であれば、
これより、


だとしても、となるので、となります。
いずれにしても、とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、,・・・,はいずれも
0であって、,・・・,はすべて実数です。
別解.上記と実質的に同じですが、偏角を用いて以下のように解答することができます。
である整数kに対して、が正の実数であることから、 (は整数)
のときは、が正の実数であることから、
 (は整数)
これより、
・・・・・・


よって、,・・・,はすべてπの整数倍となり、,・・・,は実数です。


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