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東工大数学'11年前期[4]

東工大数学'11前期[4]

平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線があるとする。この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問いに答えよ。
(1) Dと同じ平面上の直線Dのどの辺にも平行でないものとする。軸とする直線はと平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ。
(2) Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ。

解答 難問です。

(1) 右図のように、直線と平行にx軸を引き、頂点の1つが原点Oであるような、1辺の長さ1の正方形OABCを考えます。
直線OAの傾きをm ()として、その方程式は、 ・・・①
直線
BCの方程式を、 ()として、原点と直線BCとの距離は1なので、
 (点と直線の距離を参照)
より、
直線
BCの方程式は、 ・・・②
直線
OCは、直線BCと垂直なので、直線OCの傾きは(直線の平行・垂直を参照)、その方程式は、 ・・・③
②,③を連立すると、
,③より、
よって、
Cの座標は
直線
ABの方程式を、 ()として、原点と直線ABとの距離は1なので、
より、
直線
ABの方程式は、 ・・・④
①,④を連立すると、
,①より、
よって、
Aの座標は
②,④を連立すると、

よって、
Bの座標は
ここで、図形の存在範囲の左端
Cx座標を,右端Ax座標をとおきます。
また、辺
BC,辺ABを表す関数を,辺OC,辺OAを表す関数をとします。つまり、
のとき、②より、
のとき、④より、
のとき、③より、
のとき、①より、
正方形
OABCy軸方向にだけ平行移動させてx軸の回りに回転させることにより、正方形Dを直線と平行な直線のまわりに回転させるのと同一の状況を考えることにします。つまり、x軸の回りに回転させる、と考えます。
対称性より、
kについては、 (は、By座標の),また、mについては、Cy座標がAy座標よりも大きくなる範囲、,つまり、の範囲で考えれば十分です。
(i) のとき、回転体の体積は、
 ・・・⑤
(ii) のとき(右上図緑色線)
方程式は、1実数解の範囲に1実数解をもちます。
このとき、においては、回転体はを回転したものからを回転したものを取り除けば良いのですが、においては、の大きい方を回転することになります。
だとすると、
そこで、右上の図に、のグラフ
(青色線)を加えておきました。このグラフは、のところとのところで折れ曲がります。
のときにはより、なので、回転体の体積は、
の差を考えます。

 ・・・⑥
ここで、⑥のうち、における定積分の被積分関数について、
 ・・・⑦
よって、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑥のうち、における定積分の被積分関数について、この範囲では、なので
 ・・・⑩
よって、
これと、⑧,⑨より、 ・・・⑪
(iii) のとき(右上図赤色線)
方程式の範囲に1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
において、,つまり、
において、,つまり、
これより、回転体の体積は、


 ・・・⑫
このうち、における定積分の被積分関数は、⑦,⑩と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、

⑫のにおける定積分の被積分関数について、この範囲では、なので、
 ・・・⑬
また、⑫のにおける定積分の被積分関数については、この範囲ではとなり、のときと同じようには行きません。この定積分は、m0に近くkに近いと、被積分関数が負になることがあります。
における定積分は、なので、⑫のにおける定積分では、における定積分は、における定積分から引くのではなく、における定積分から引くことにします
(きわどいところから引くのではなく、余裕のあるところから引く)において、⑫の定積分の被積分関数の後ろ2項について、

において増加関数なので、xとして、
()
より、
 (置換積分をしている)
 ・・・⑭
なので、⑫のの部分の定積分、
 ()
のうちの一部を借りてきて、これと⑭との和をとると、
この被積分関数は、
より、
 ・・・⑮
問題は、という積分範囲が、の積分範囲に含まれるか、ということですが、直線ABにおいてとすると、となり、ですが、なので、


 ()
より、であって、積分範囲は積分範囲に含まれます。以上より、⑫は、




以上より、
(iv) のとき(右上図の橙色線)
方程式の範囲に1実数解を持ちます。
方程式が、
1実数解1実数解の範囲に1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
において、,つまり、
において、,つまり、
これより、回転体の体積は、




 ・・・⑯
このうち、における定積分の被積分関数は、⑦,⑩,⑬と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、




⑯のにおける定積分は、(iii) における定積分と同様に、上記と同じようにはいかないので、における定積分と合わせて考えることになります。,また、としてより、⑮を導いたのと同様にして、

(i)(ii)(iii)(iv)より、回転体の体積はのとき最大で、軸とする直線はと平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わります。

(2) (1)より、mを固定して考えるとき、回転体の体積の最大値は、
それぞれの定積分は、円錐、あるいは、円錐台の体積として、




これをとおくと、において、
 (商の微分法を参照)
 (関数の増減を参照)
よって、は増加関数で、
すべての回転体の体積の中で最大となる値は、
......[]


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  1. 2011/03/22(火) 12:17:31|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[3]

東工大数学'11前期[3]

定数kをみたすとする。xy平面上の点Aを通りx軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を、2XYをみたしながら動いている。原点Oを中心とする半径1の円と線分OXOYが交わる点をそれぞれPQとするとき、△OPQの面積の最大値をkを用いて表せ。

解答 最終的にの形が出てきますが、2次方程式の解の配置を考えることにより最大値を求めることができます。

とすると、
Y
より、 ・・・①
XYは第1象限の点なのでより、
また、で、△
OPQの面積Sは、
 (三角形の面積を参照)
と①より、
 ・・・②
とおくと、であって、①より、
より、
 ( )
より、
これらを②に代入して、

とおくと、であって、根号内を抜き出して、
 ・・・③
とおきます。です。分母を払って整理すると、
 ・・・④
とおくと、
u2次方程式④が、の範囲に実数解をもつ条件は、なので、④の判別式D,軸位置:について、
判別式:




 ・・・⑤ かつ
軸位置: ・・・⑥
ここで、より、に注意すると、
⑤より、
⑥より、
を考慮して、

かつ
これより、Sの最大値は、 ......[]
注.Sが最大となるのは、のときですが、このとき、方程式④が重解:
をもち、このとき、です。
別解.③のuの関数と見て微分すると、
において増減表は、
u0


0
p

増減表より(関数の増減を参照)のときにpは最大値をとります。


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  1. 2011/03/17(木) 18:20:13|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[2]

東工大数学'11前期[2]

実数xに対して
とおく。
(1) 関数の最小値を求めよ。
(2) 定積分を求めよ。

解答 面倒な微積分の問題に見えますが、場合分けするだけなので、この問題は落とせません。

(1) 絶対値を含む定積分では、絶対値記号の内側の正負で積分区間を分ける必要があります。
とおきます。
積分区間においてです。
(i) のとき、
よって、
(ii) のとき、
よって、
(iii) のとき、
(a) であれば、
(b) であれば、
以上より、の場合と、の場合に分けて積分計算を実行します。
の場合、つまり、(i)(ii)の場合、
 (不定積分の公式を参照)
より、 ・・・①
の場合、つまり、(iii)の場合、
を満たすtαとして、(iii)(a)では(iii)(b)ではより、







x


0

増減表より(関数の増減を参照)においては、 ・・・②
①,②より、の最小値は ......[]
別解.の場合については、相加平均相乗平均の関係を用いて、
(不等号の等号成立は、,つまり、のとき)
とすることもできます。

(2) (1)より、のときのとき


......[]


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  1. 2011/03/15(火) 21:34:49|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[1]

東工大数学'11前期[1]

nを自然数とする。xy平面上で行列の表す1次変換(移動ともいう)とする。次の問いに答えよ。
(1) 原点Oを通る直線で、その直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるものが2本あることを示し、この2直線の方程式を求めよ。
(2) (1)で得られた2直線と曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 (1)1次変換の問題ですが、(2)は数学Ⅱの積分の問題、(3)は数列の求和問題で、よくある3パターンの全く別の基本問題を融合させた問題です。

(1) ある直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるとき、その直線を、以下、不動直線と呼ぶことにします。不動直線がy軸だとして、y軸上の点を (tは実数)とすると、
 (行列の積を参照)
は、のときy軸上に来ないので、y軸は不動直線にはなり得ません。
y軸以外のOを通る直線をとして、上の点を (tは実数)とすると、
これもまた、上の点だとすると、
tは任意の実数なので、


これより、不動直線は2本あり、2直線の方程式は、 ......[]

(2) を連立すると、
 ∴
を連立すると、
 ∴
求める面積は、とで囲む面積から、とで囲む面積を引いたものになります。
 (定積分の公式を参照)
......[
]

(3)
 (数列の求和技法を参照)
......[
] (数列の極限を参照)


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  1. 2011/03/13(日) 16:31:25|
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