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東大文系数学'97年[4]

東大文系数学'97年前期[4]

をみたす実数t に対して、xy平面上の点AB
AB
と定める。t を動くとき、直線ABの通りうる範囲を図示せよ。

解答 見るからにゴツゴツとそびえ立つ巨岩のような問題に見えますが、やっていくと、典型パターン問題だということがわかってきます。
とにかく、暗礁に乗り上げるまでは基本に忠実にやってみることです。

まず、
ABx座標が一致することがあるかどうか調べてみます。
より、ABx座標が一致することはありません。
よって、直線
ABの傾きは(直線の方程式を参照)
直線ABの方程式は、
 ・・・①
となり、見慣れた形になってきます。
実数
tの範囲を動くと、直線ABが傾きやy切片を変化させながらxy平面上を動き回るのですが、直線ABの通過範囲は、いろいろと直線を引いてみてもなかなかつかめません。
そこで、
x座標を固定して、直線が動くときに、あるx座標のところでy座標がどのような変化をするかを考えることにします。従って、xの方を定数として①をtの関数と見て、y座標の最大・最小を考えることになります。
①の右辺をとおいて、


とすると、になりますが、x0との関係はいろいろ考えられるので、場合分けが必要になります(3次関数の増減を参照)
(i) の場合、において、なので、は減少していて、
より、
(ii) の場合、xの範囲に入るかどうかでも場合分けが必要になります。
のとき、
より、の増減表は以下のようになります。
t0
x
1

0

増減表より最大値はですが、最小値はのどちらになるかでさらに場合分けが必要になります(3次関数の最大最小を参照)
(a) のとき、より、
(b) のとき、より、
の場合、において、なので、は増加していて、

以上をまとめると、直線ABの通過範囲は、
図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)


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  1. 2009/02/15(日) 08:28:16|
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東大文系数学'05年[3]

東大文系数学'05[3]

0以上の実数st
をみたしながら動くとき、方程式
の解のとる値の範囲を求めよ。

解答 やや手強い、対称式と2次方程式の問題です。

 ・・・①
①の左辺をとおきます。

とおく(2次方程式の解と係数の関係を参照)と、st2次方程式:
2解で、2解とも0以上の解なので、
として、
判別式:
の軸:

よって、 かつ  ・・・②
また、より、

 ・・・③
②に代入すると、

より、 ・・・④

③を用いて、

と表せるので、①は、
となります。について解いても、きれいな形にはならないので、u2次方程式:
 ()
とみて、が④の範囲に実数解をもつ条件を考えます(2次方程式の解の配置を参照)
・④の範囲に1解を有する、または、と他に1解、または、と他に1解をもつ場合、より、

または または
より
従って、は、に含まれます。
の軸の位置: ()は、④の範囲に入らないので、2解とも④の範囲に入る、ということはありません。
以上より、の解のとり得る値の範囲は、 ......[]


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  1. 2009/02/12(木) 09:53:42|
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東大文系数学'98年[4]

東大文系数学'98[4]

xyz空間に3ABCをとる。△ABC1つの面とし、の部分に含まれる正四面体ABCDをとる。さらに△ABD1つの面とし、点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる。
(1) Eの座標を求めよ。
(2) 正四面体ABDEの部分の体積を求めよ。

解答 断面図が描けてしまえば、あとは一本道です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) 原点をOとして、Oは辺ABの中点で、より、正四面体ABCDは、△CODを含む平面、つまり、yz平面に関して対称です。また、同様に、正四面体ABDEも、yz平面に関して対称です。従って、DEyz平面上の点です。
これより、右図のような鳥瞰図と、yz平面で切ったときの断面図が書けるはずです。
ABCの重心をGとすると、断面図において、DGは△ABCを含む平面、つまり、xy平面に垂直 ・・・() で、Dy座標はGy座標に一致します。
よって、Dy座標はです。また、と三平方の定理より、
これがDz座標になります。

OD
CEの交点をHとすると、であって、Hは△ABDの重心です。

E
は直線OD (あるいは△ABD)に関してCと対称なので、
よって、点Eの座標は、 ......[]
注.()を示すのであれば、
より、
よって、DGは△ABCを含む平面に垂直です。

(2) これも(1)の断面図を使って考えます。正四面体ABDEzx平面で切ると、辺DEz軸との交点をFとして、切り口は△ABFです。この△ABFを底面と見ると、高さはEy座標の符号を変えたものとなり、求める体積Vは、
で与えられます。Dy座標をと書くと、
GD // OFより、DFFE = = = 37
Fz座標をとして、
......[]


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  1. 2009/02/09(月) 17:18:08|
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東大文系数学'05年[1]

東大文系数学'05前期[1]

をみたす2次関数とする。abを実数として、関数を次で与える。
abをいろいろ変化させ
が最小になるようにする。
このとき、であることを示せ。


解答 のとき、においてはが存在しません。こういう入試問題があるので、定積分abを「下端」、「上端」と呼ぶべきではなく、「下限」、「上限」と呼ぶべきだと私は思います。'90年代以降の「ゆとり教育」教科書改訂はすべて白紙に戻して、'90年代以前に戻すべきだ、と、私は主張します。
文系数学でこうした出題をするということは、ひょっとして、出題者にも、そういう考えの人材を文科省に送り込もうという魂胆があるのでしょうか?

において、より 
(微分・導関数を参照)
 (定積分を参照)




 ( )
同様に、において、より



よって、


は定数なので、Iは、かつのときに最小です(2次関数を参照)
より、
Iが最小のとき、

注.抽象的関数のまま計算しないで、として具体的な形を入れて計算しても、ほぼ同様に結論が得られます。


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  1. 2009/02/05(木) 13:18:36|
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東大文系数学'06年[4]

東大文系数学'06前期[4]

q は、の範囲の角度を表す定数とする。の範囲で、関数
が最小値をとるときの変数xの値を、で表せ。

解答 絶対値記号3つありますが、実質は1つです。ていねいに場合分けをして調べましょう。

より、
よって、
とおくと、より

(i) のとき、
より、
 (微分・導関数を参照)

の軸位置:


これより、は、に解をもっていて(2次方程式を参照)においては、よりは増加し、において、最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
(ii) のとき、
より、


の軸位置:


これより、は、に解bをもっていて(もう1つの解はにある)、増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
b
a

0



増減表より、において、最小値をとります。
(i)(ii)を合わせて考えると、より、においては、において最小です。

 (2倍角の公式を参照)
......[
]


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  1. 2008/12/30(火) 20:13:59|
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