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阪大物理'01年前期[2]

阪大物理'01年前期[2]

音源とマイクロホンを準備した。マイクロホンは受けた音波(密度変化の波)の振幅A (),振動数f,位相を測定することができる(位相とは、tを時刻として波形をと表したときののことである)。音源のところでの波形はで表される。音速をVとして、以下の問題に答えよ。
Ⅰ 図1のように音源をに、マイクロホンを原点に固定する。
1 マイクロホンで測定した波形はであった。aLVを用いて表せ。
Ⅱ 図2のように、原点にマイクロホンを固定した状態で、音源がx軸の正の方向に速さu ()で動いている。時刻に音源がを通過した。
2 時刻に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻を求めよ。
3 マイクロホンで測定した波形はであった。b LVを用いて表せ。
4 時刻に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻を求めよ。ただし、時刻で音源はx軸の負の領域にあるものとせよ。
5 時刻に音源から出た音波の位相と、時刻にマイクロホンが受けた音波の位相を比べることによりの関係を求めよ。解答の際には計算の過程を簡潔に記せ。
Ⅲ 図3のように、2台の音源をそれぞれに固定した。それぞれの音源が単独に音を出したとき、原点に置いたマイクロホンで測定した波形はどちらも同じで、であった。
6 両方の音源が同時に音を出した。マイクロホンで測定する波形を求めよ。ただし、ここではaはそのまま用いてよい。
7 次にマイクロホンの位置をx軸の正の方向に少しずらせて測定したところ、振幅は0になった。このときのマイクロホンのx座標をVを用いて表せ。ただし、この位置は原点に最も近い振幅が0になる位置である。また、片方の音源だけが音を出しているとき、マイクロホンを少しぐらい動かしても、マイクロホンで測定する振幅は変化しないと考えてよい。

解答 音波の基本からドップラー効果の公式を導こう、という問題です。
なお、
波動現象位相を参照してください。

Ⅰ 問1 に位置する音源を出た音波が速さVで進んでに位置するマイクロホンに届くのに、時間を要します。従って、マイクロホンで測定した波形では、音源での位相時間遅れてとなります。
......[]

Ⅱ 問2 音源を出てしまえば、音波は音源の移動の影響は受けません。問1と同様に時間をかけてマイクロホンに到達するので、マイクロホンに到達する時刻は、 ......[]

3 音源をに出た音波はにマイクロホンに到達するので、問1と同様に、
......[]

4 時刻に音源は ()に来ています。ここで音源を出た音波は距離進んでマイクロホンに到達します。到達するまでの時間,到達する時刻は、
......[]

5 4において、における音源の位相におけるマイクロホンにおける位相は等しくなります。つまり、
......[]
注.における音源の位相におけるマイクロホンにおける位相が等しくなる、という意味がわかりづらいかも知れません。右図のように、ドップラー効果により、音源を出たときの振動数とマイクロホンが観測する振動数が異なるのですが、のときに音源を出た振動がにマイクロホンに到達するわけです。位相が等しくなる、というのは、に音源を出たときの音波の振動が波1つ分のどの辺にあたるか、ということと、にマイクロホンに到達したときの音波の振動が波1つ分のどの辺にあたるか、ということが同じになる、ということを意味しています。

Ⅲ 問6 となる2波が重ね合わされるので、
......[]

7 問6ではに位置するマイクロホンが両波源から等距離にあって、2波は強め合いました。2波が作る定常波の腹になっています。定常波では隣り合う腹と腹の距離波長,隣り合う腹と節の距離波長です。
音波の波長なので、求めるx座標は、 ......[]
別解.左の音源から座標xに位置するマイクロホンに到達する波は、
右の音源から座標
xに位置するマイクロホンに到達する波は、
2波を重ね合わせると、
 (波の干渉を参照)
座標xにおいて振幅0になるので、
mを整数として、

においてに最も近いのはの場合で、 ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2009/02/03(火) 13:23:43|
  2. '08年入試(物理)
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東北大物理'96年前期[2]

東北大物理'96[2]

電気容量のコンデンサーに交流電圧 ()を加えると、コンデンサーに流れる電流は、で表される。コンデンサーのリアクタンスはである。また、自己インダクタンスのコイルに交流電圧を加えると、コイルに流れる電流Iで表される。コイルのリアクタンスはである。交流回路について下記の問いに答えよ。 ア  オ  カ  ク  コ には式を、 イ  エ には数値(有効数字2桁まで)を、 サ  シ には適当な言葉を記入せよ。なお、 キ  ス は図で示せ。
(1) 1はコンデンサーC (電気容量),コイルL (自己インダクタンス),抵抗R (抵抗値)を直列に接続し、交流電圧を加えた交流回路である。回路を流れる電流Iは、を交流電圧に対する電流Iの位相差として、で表される。ここで、で与えられる。Zはこの回路のインピーダンスであり、 ア で表される。とすると、w  イ のときw に関して最大になり、その値は ウ となる。また、このときのAB間の電位差 エ となる。この現象を共振という。およびのときのの漸近形は オ で表され、及びのときのの漸近形は カ で表される。これらの結果を用いて、w の関数としての概略を キ に図示せよ。
(2) 2は、図1でコイルLとコンデンサーCを並列に接続した場合の交流回路を示す。交流電圧の角周波数w を変えていくと、のとき抵抗Rを流れる電流は0になった。このとき、コンデンサーCに流れる電流 ク で、一方、コイルに流れる電流 ケ である。これより、 コ と求まる。この現象も共振と呼ばれる。のとき、コンデンサーとコイルのうち、電流はほとんど サ を流れる。また、のときは電流はほとんど シ を流れる。抵抗Rを流れる電流Iは、を交流電圧に対する位相差として、と表される。の場合、w の関数としての概略を ス に図示せよ。図中に、の数値と及びのときのの数値をそれぞれ示せ。

解答 交流回路に関する基本問題ですが、数式処理の点でちょっと難しいカ所があります。
交流では、抵抗
R,コイルL,コンデンサーCを直列接続したときの合成インピーダンスは、それぞれのインピーダンス(抵抗R誘導リアクタンス容量リアクタンス)の和ではなく、横軸にR,縦軸上向きに,縦軸下向きにをとったときのベクトル和の大きさとして、となることに注意してください。
また、
誘導リアクタンス容量リアクタンスを考えるとき、電流電圧の瞬時値については、オームの法則を適用できない(位相がずれる)ことに注意してください。ただし、電流電圧の振幅 (従って、実効値)については、オームの法則と類似の関係式:が成り立ちます。

() 自己インダクタンスのコイル、静電容量のコンデンサー、抵抗を直列接続したときの、角周波数におけるインピーダンスは、
 ・・・①
で与えられます。
......[]
() は、Z最小のときに最大になります。w が変化するとき、①で与えられるZが最小になるのは、
 ・・・②
のときです。よって、

......[]
() ②が成立するとき①は、となります。よって、の最大値は、

......[]
() このとき、AB間のインピーダンスは、②よりゼロです。従って、AB間の電位差もゼロです。
0 ......[]
() およびのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() 及びのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線(黄緑色の曲線は,水色の曲線は)
() 抵抗両端の電圧0なので、コイルとコンデンサーの両端に交流電圧がかかります。
問題文より、のとき、コンデンサーに流れる電流は、
 ・・・③
......[]
() コイルに流れる電流は、
 ・・・④
......[]
() 抵抗を流れる電流0なので、
③,④より、
......[]
() のとき、コイルのリアクタンス→大,コンデンサーのリアクタンス,よって、電流はほとんどコンデンサーを流れます。
コンデンサー ......[]
() のとき、コイルのリアクタンス,コンデンサーのリアクタンス→大,よって、電流はほとんどコイルを流れます。
コイル ......[]
()
()のとき、合成インピーダンスは、
(コイルとコンデンサーが並列であることに注意)
()のとき、合成インピーダンスは、

これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線。



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  1. 2009/01/29(木) 19:53:47|
  2. '08年入試(物理)
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中大理工物理'05年[2]

中大理工物理'05[2]

次の文章の空欄にあてはまる式、グラフ、語句または文章を、それぞれ記しなさい。
無重力の宇宙空間で、図のような細い管でできた半径
Rの円形のリングをリングの直径方向を回転軸にして一定の角速度Wで回転させる。管の内壁は滑らかで摩擦が無視できるとして、管内にある質量mの質点Pの運動を調べよう。
これを調べるには、静止した観測者から質点
Pを眺める方法とリングと一緒に回転している観測者から見る方法が考えられる。リングと一緒に回転している観測者から眺めると、質点Pの回転運動は観測されず、かわりに遠心力と呼ばれる見かけの力が現れる。すなわち、宇宙空間でも管内にある物体には、あたかも重力が働いているかのように力が作用する。物体が受けるこの人工重力(遠心力)は、回転軸と物体の距離をhとすると、の大きさである。一方、静止している観測者から見ると、見かけの力は消える。そのかわり、質点Pの回転運動が観測される。
これら
2つの見方のどちらを使うのがよいかは一概には言えない。むしろ、何が知りたいかによって、見方を変えるとよい。そこで、はじめにリングと一緒に回転している観測者から質点Pを眺めることにしよう。この見方で考えると、質点Pが図のように回転軸からq の位置にいるとき、中心OPを結ぶ方向(y)には、力のつり合いが成り立つことになる。管の内壁からの垂直抗力をNとすると、つり合いの式は重力がないのですこし簡単になって、 (1) と書ける。一方、リングに沿った方向(x)の見かけの力Fは、q が増加する方向を正として、 (2) である。Fq 依存性を区間で図示すると (3) のようになるから、リングに沿った方向には、 (4) の位置に向かって質点Pを動かす力が働くことがわかる。
この力の性質をもう少し詳細に調べるために、の場合を考える。ここで、
fは充分に小さい()とする。なら、およびの近似式が成り立つ。Ff 1乗までの項で表すと、 (5) である。の位置から測った変位であるから、リングに沿った方向の運動は単振動と考えてよい。したがって、この運動は周期運動で、その周期T (6) となることがわかる。
初期時刻
Pの位置が (),リングに沿った方向の速度vであるとする。リングに沿った方向の運動が単振動であることを使うと、時刻でのvは容易に求まり、を使って、 (7) と表すことができる。
このように、リングと一緒に回転している観測者から見る方法で考えると、質点
Pの運動の様子が簡単にわかる。では、質点Pの力学的エネルギーはどのようになるのであろうか。リングと一緒に回転している観測者から見たのでは、この問題はわかりにくい。そこで、静止した観測者の立場から質点Pの運動を見ることにしよう。この見方では、時刻tでの力学的エネルギーは運動エネルギーのみである。このことから、時刻tPの位置をq,リングに沿った方向の速度をvとすると、 (8) と書くことができる。
時刻
Pの位置は,リングに沿った方向のPの速度はゼロであるから、このときのエネルギーは、の時に成り立つ近似式を使って2乗の項まで考慮すると、 (9) である。同様にして、時刻でのエネルギーも容易に求まる。その結果を使うと、一見意外な、 (10) の関係が得られる。
以上のことから、リングに沿った方向に質点
Pの運動が起こると、リングの回転を一定の角速度Wに維持するためには、外から (11) が必要であることがわかる。

解答 近似を行うことにより、つり合いの位置の近くで単振動になることを導く問題です。合わせて、回転運動する観測者から見る場合と、静止している観測者から見る場合とを比較します(慣性力を参照)。また、通常の近似とは違い2次の項まで残すことにも注意が必要です。

(1) 質点Pが回転軸からq の位置にいるとき、質点Pと回転軸との距離hは、
遠心力は、
質点Py軸方向に働くは、管の内壁から受ける垂直抗力N (y軸負方向)と、遠心力y軸方向成分 (y軸正方向)です。この2力のつり合いより、

......[]
(2) x軸方向に働くは、遠心力x軸方向成分です。
......[]
(3) Fq依存性のグラフは右図。
(4) (3)のグラフより、においては正方向のにおいては負方向のが働くので、リングに沿った方向では、の位置に向かう方向にが働きます。
......[]
(5) 問題文中の近似式を(2)の結果に適用して、

を無視してfを残すと、

......[]
(6) リングに沿った方向での質点P加速度aとして、運動方程式

問題文中にあるように、の位置から測った変位なので、これは、角振動数W 単振動を表します。単振動の周期は、
......[]
(7) における質点P変位速度0で、このとき質点Pは単振動の振動端にあります(単振動の振幅)。ここから周期後に質点P振動中心(変位0の位置)に来ますが、ここは速さ最大の位置です。単振動の公式より、このときの質点P速さなら速度は負、なら速度は正なので、質点P速度vは、
......[]
(8) 静止した観測者の立場から質点Pの運動を見るとき、質点P速度のリングに沿う方向の成分はv,これと垂直にリングの回転による速度成分があります。2成分を合成して、質点P速さ,よって、

......[]
(9) のとき、より、
問題文中の近似式を用いて、
を無視して、まで残すと、

......[]
(10) において、より、(8)の結果を用いて、
......[]
(11) 単振動においては力学的エネルギーが保存されるはずですが、(10)の結果によると、
です。従って、リングに沿った方向に質点Pの運動が起こると、リングの回転を一定の角速度Wに維持するためには、外から仕事を加えること(においてはにおいては)が必要になります。
仕事を加えること
......[]

追記.(5)の近似は、
としても同じ結果が得られます。
(9)の近似も、
としても同じ結果が得られます。
(10)ですが、本問では「単振動」と言っても純粋な単振動ではなく、単振動+回転運動なので、の半分は、回転運動の半径の違い(R)による運動エネルギーの差であり、残る半分は、単振動させるによる、言わば、位置エネルギー (ばね定数のばねと思えばよい)と言えるものです。
右図のように地表でリングを
角速度Wで回転させる場合は、重力を考慮することになります。リングとともに回転する観測者から見て、リングの接線方向に働くは、重力遠心力です。
この
2がつり合うのは、
として、
 ・・・①
のときです。回転が充分に速くである場合には、リング上に力のつり合いが成立する位置が存在します。①を満たすq として、は鈍角なので、のつり合いの位置は、リングの半分から下のどこかにあります。
質点
Pが位置q 加速度aで運動しているとき、運動方程式
本問と同様にとしてfを微小角として、の近似を行うと、

 (を無視しました)

 ( )
 ( )

本問と同様に、の位置からの変位と考えれば、この式は、角振動数単振動を与えます。本問は重力を考慮しないのでここでとした場合に当たります。


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  1. 2009/01/24(土) 22:31:14|
  2. '08年入試(物理)
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阪大物理'08年後期[2]

阪大物理'08年後期[2]

1~図4のような直流回路を考える。ただし、電流の向きは矢印の向きを正とし、電池の内部抵抗は無視する。
Ⅰ.図1のように、起電力 ()の電池1,起電力 ()の電池2,抵抗値rの抵抗3つからなる回路がある。それぞれの抵抗には電流が流れている。電流ならびにb点に対するa点の電位を求めてみよう。
1 の間に成り立つ関係は (1) となる。 (1) の中に適切な式を入れよ。
2 の間に成り立つ関係は (2) となる。さらに、の間に成り立つ関係は (3) となる。 (2) (3) の中に適切な式を入れよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を求めよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
Ⅱ.次に、図2および図3の回路を考える。図2においてそれぞれの抵抗に流れる電流をとし、図3では、それぞれの抵抗に流れる電流をとする。
4 図2において、電池1から見た、3つの抵抗の合成抵抗を求めよ。
1と図2を比較すると、図2は図1において電池2の起電力をゼロとした(つまり、電池2を導線と入れ替えた)場合に等しい。また、図3は図1において電池1の起電力ゼロとした(つまり、電池1を導線と入れ替えた)場合に等しい。このように電池が2つ以上あり、回路内のある抵抗に流れる電流を求める場合、1つの電池をそのままで残りの電池の起電力をゼロ(つまり電池を取り除いて導線と入れ替える)としたときに、その抵抗に流れる電流を計算し、他の電池に対しても同様の手続きを行い電流をそれぞれ求めることができれば、それらの電流を足し合わせ、実際の回路における抵抗に流れる電流を求めることができる。これを重ね合わせの原理という。つまり、図1,図2,図3においては、の関係式が成り立つ。それぞれの電流は、電池の起電力の値と合成抵抗や抵抗の比を利用して求めればよい。
Ⅲ.さらに、図4に示すように、抵抗値の抵抗に流れる電流を重ね合わせの原理を用いて求めてみよう。以下の問いにおいてはrのうちの必要なものを用いて答えよ。
5 図4において、電池2の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとし、電池1の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとする。を求めよ。
6 前問の結果からを求めると、以下のような形で表される。
を求めよ。
7 前問の結果は、において、図4の回路図を起電力の電池、抵抗値の抵抗、抵抗値の抵抗からなる簡単な回路に置き換えられることを示している。置き換えた回路図を描け。

解答 キルヒホッフの法則を用いる抵抗回路の問題です。問7の回路図は、どれだけ正確に回路シンボルを描くことを要求しているのでしょうか?抵抗をギザギザで描くとどうなるのでしょうか?
なお、このウェブサイトでは、「
電圧降下の向き」を電圧の向き(電圧が上昇する向き)と逆向きにしていることに注意してください。

Ⅰ.問1(1) の+側の節点に流れ込む電流,節点から流れ出す電流です。キルヒホッフの第1法則より、
......[] ・・・①
2(2) の+側から出てが流れる抵抗を通りの-側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流と逆向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・②
(3) の+側から出てが流れる抵抗を通りの-側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流の向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・③
3 ①を③に代入し、
 ・・・④
これを②に代入し、
......[]
これを④に代入すると、
......[]
①より、
......[]
......[
]

Ⅱ.問4 図2の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗並列で、合成抵抗は、
よりです。この合成抵抗の流れる抵抗r直列合成抵抗は、
......[] (このときの回路は右図のように書き直すとわかりやすいでしょう)
注.この結果より、
3の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗は並列で合成抵抗,この合成抵抗の流れる抵抗rは直列で合成抵抗です。これより、
これより、確かに、
が成り立っています。

Ⅲ.問5 図4において、電池2起電力をゼロとしたときの回路を書き直すと、右図のようになります。
r2個の合成抵抗r合成抵抗Rは、
より、
Rが直列のときの合成抵抗は、
R両端の電圧は、Rに分けたうちのRの分となり、
これより、を流れる電流は、電圧降下と逆向きになっていることを考慮して、
......[]
4において、電池1起電力をゼロとしたときの回路は、電池2起電力をゼロとしたときの回路で電池2を電池1に入れ替えた回路になり、の結果でに入れ替え、電流の向きが逆になり電圧降下と同じ向きであることを考慮して、
......[]
6 問題文中の考え方によると、
より、
......[]
7 オームの法則より、起電力の電池に抵抗抵抗が直列接続されて電流が流れる回路で、回路図は右図。


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  1. 2009/01/15(木) 13:54:13|
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筑波大物理'08年[1]

筑波大物理'08[1]

図のように水平な床に置かれた発射台を考える。この発射台は、一定のエネルギーを瞬時に小球と発射台の運動エネルギーに変換することで小球を発射できる。この小球は大きさが無視でき、質量mをもつ。小球を含まない発射台の質量をMとする。床と発射台の間には摩擦がなく、発射台は床の上の直線上を自由に動くことができる。この直線をx軸とし、x軸に垂直で鉛直上向きをy軸とする。この小球の発射方向はx-y面内で動かすことができ、発射方向とx軸正方向のなす角q の範囲で調整することができる。小球は床の高さから発射されるとしてよい。重力加速度は鉛直下向きでその大きさをgとする。また、空気抵抗、小球発射前後でのにかかわる質量変化はないものとする。
以下、の位置で静止している発射台から小球を発射する場合を考える。

1 小球発射直後の小球と発射台の速度をそれぞれとするとき、小球発射前後でのエネルギー保存、水平方向の運動量保存を表す式を示せ。
2 発車直後の小球の速度の水平(x)成分,垂直(y)成分mMq を用いて表せ。
3 発射直後の小球の発射台に対する相対速度の大きさをmMq を用いて表せ。
4 発射された小球が床に最初に落ちる位置gmMq を用いて表せ。
5 を最大にするための角度q より大きいか小さいかを理由とともに示せ。

解答 問5でちょっと数学が混じりますが、それ以外は、運動量保存を除いてセンター試験練習用問題です。

1 発射前のエネルギー,発射後のエネルギーは、小球の運動エネルギー,発射台の運動エネルギー,発射前後でのエネルギー保存
......[] ・・・①
水平方向の運動量は、発射前は0,発射後は、小球が,発射台が,発射前後の水平方向の運動量保存
......[] ・・・②

2 ②より、
①に代入すると、

......[]
......[
]

3 相対速度x成分は、y成分は,その大きさは、

......[]

4 小球が最初に床に落ちるまでの時間tとして、小球は、
x方向は速度等速度運動するので、
 ・・・③
y方向は加速度等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、

③に代入して、
 (半角の公式を参照)
......[
]

5 問4の結果で、
とおくと、qに関してに従って変化します。
 (商の微分法を参照)
とすると、
これを満たすq とすると、より、
q0


0
0最大0

増減表より(関数の増減を参照)を最大にするための角度q より大きい。 ......[]


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  1. 2009/01/10(土) 12:12:22|
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