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長崎大医数学'08年[3]

長崎大医数学'08[3]

1辺の長さの正方形の折り紙がある。正方形ABCDの中心を点Oとし、AO上に点Eをとり、とする。図1の斜線部を取り去り、OBOEに沿って折り、OCODを貼り合わせ、図2のように三角錐O-BCEを作って平面に置いた。Oより三角形BCEに下ろした垂線と三角形BCEとの交点をHとするとき、次の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形BCEの外心を点Pとする。のときのの長さをaを用いて表せ。

解答 空間ベクトルの計算問題です。(2)は、平面ベクトルの問題として考え、三角形BCEである二等辺三角形であることから、1次独立なベクトルとして、を選ぶことにします。また、BCの中点をMとして、外心PEM上にあることを利用します。

(1) です。
また、で、OCODを貼り合わせるので、
 ・・・①
とおくと、Hは、三角形BCEが乗っている平面上の点なので、
 ・・・② (平面のベクトル方程式を参照)
OHは、三角形BCEと垂直なので、
かつ
よって、です。①を用いると、

②より、

......[]

(2) (1)より、

 ・・・③
より、三角形BCEは二等辺三角形で、外心Pは、BCの中点をMとして、EM上に来ます。
 ・・・④
①より、
 ・・・⑤
これを用いて、
 ・・・⑥
とおくと、
 ・・・⑦
④を用いて、


 ( )
Pが外心であることから、,⑦を用いて、


③,④より、

と⑥より、
分母を払って2乗すると、
整理して、
より、
EHHP = = = 21

......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2009/01/09(金) 22:10:39|
  2. '08年入試(数学)
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名市大経済数学'08年[4]

名市大経済数学'08[4]

正の数xに対して、三辺の長さが
で与えられる三角形ABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) のとき、三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の正の数tに対して不等式
 ・・・①
および
 ・・・②
が成立することを示せ。ただし、②を証明する際に①を利用してよい。
(3) (2)の結果を利用して、任意の正の数xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

解答 センター試験を意識して、相加平均・相乗平均の関係の利用法を考えてみましょう。(2)は、「②を証明する際に①を利用してよい」というヒントがないと、まごつくかも知れません。

(1) のとき、
なので、三角形ABCが存在する条件(2辺の和>他の1)は、
 ・・・③
かつ
 ・・・④
です。③より、
④より、
以上より、
......[]

(2) 相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑤
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑥
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
⑤,⑥を辺々加えることにより、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式①が成立します。また、これより、
 ・・・⑦
右辺は、
ですが、左辺は、
よって、⑦より、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式②が成立します。
注.⑤-⑥としても、不等式②を示すことはできません。
かつ
は成り立たないからです。のときを考えてください。
もちろん、
かつ
も言えません。のときを考えてください。
また、上記では、⑤+⑥を作ることによって、不等式①を導いたのですが、これができたのは、⑤と⑥の等号成立条件が同じだからです。同じでなければ、⑤+⑥から①を導くことはできません。例えば、のとき、相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・(a)
ですが、だからと言って、
 ・・・(b)
 ・・・(c)
2式を辺々加え合わせて、
 ()
としても、(a)は導けないのです。
なぜかと言うと、

(b)の等号成立条件は、,つまり、
(c)の等号成立条件は、,つまり、
で等号成立条件が異なるからです。

(3)
より、なので、三角形ABCが存在する条件は、
 ・・・⑧
かつ
 ・・・⑨
です。⑧より、
この不等式の右辺は(2)より以下なので、
であれば、⑧は、任意の正の数xについて成り立ちます。
⑨より、
この不等式の右辺は(2)より以上なので、
であれば、⑨は、任意の正の数xについて成り立ちます。
以上より、任意の正の数
xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲は、
......[]


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  1. 2009/01/07(水) 18:57:48|
  2. '08年入試(数学)
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愛媛大理数学'08年[5](その2)

その1からのつづき
阪大理系'08年前期[1]

2次の正方行列,・・・を
()
で定める。ただし、O2次の零行列、BC2次の正方行列とする。
(1) BCを用いて表せ。ここでE2次の単位行列とする。
(2) BC
とするとき、を求めよ。

解答 Cの累乗に規則性があるので、この問題は誘導通りに解答します。

(1) 与えられた漸化式を用いて、を計算してみます。
なので、 ・・・①
 ・・・②




これより、
 ()
と予測できます。
() のとき、②より予測は成り立ちます。
() のとき、予測が成り立つとして、



よって、のときも予測は成り立ちます。
()()より、において予測は成り立ちます。
......[]

(2) (1)の結果の中にCの累乗が出てくるので、,・・・ を調べてみます。

従って、n0以上の整数として、
(1)より、
右からをかけて、
......[]
追記.2項間漸化式のようにしてやろうとすると、行列Cの固有値が虚数()になり、うまく行きません(高校範囲外であれば行列の成分に虚数が出てきてもよいのですが)

広島県大
'08[5]

条件
()で定められる2次の正方行列を考える。ここで、である。
(1) を求めよ。
(2) 数学的帰納法により、は逆行列をもつことを示せ。
(3) を示せ。
(4) を求めよ。

解答 数列であれば、


という漸化式で、両辺の逆数を考え、

とすると、が等差数列になる、というタイプのものです。
行列では、逆行列を考えると等差数列と類似の形が出てきます。


(1) ......[]

(2) () のとき、(1)よりは逆行列をもちます。
() のとき、が逆行列をもつと仮定します。
問題文の漸化式でとして、
右からをかけると、
これは、の逆行列がであることを意味します。 ・・・①
よって、も逆行列をもちます。
()()より、は逆行列をもちます。

(3) ①より、

(4) (3)の結果を繰り返して使うことにより、
......[]

九州工大工'08年前期[3]

行列
AB
とする。2次の正方行列 ()
により定める。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。すべての自然数nに対して
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(3) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(4) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(5) 自然数nに対してを求めよ。

解答 行列の連立漸化式ですが、数列の連立漸化式と同じ感覚でできます。

(1)
......[]
......[]

(2)
() のとき、より成り立ちます。
() のとき、が成り立つと仮定します。
よって、のときも成り立ちます。
()()より、すべての自然数nに対して、が成り立ちます。

(3)  ・・・①
 ・・・②
①+②より、


......[]

(4) ①-②より、
(3)と同様にして、





(5)
......[]


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  1. 2009/01/05(月) 14:45:16|
  2. '08年入試(数学)
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愛媛大理数学'08年[5](その1)

愛媛大理数学'08[5]

行列AEO
とする。ここで、abcdは実数で、ある実数kに対して、
をみたしている。
(1) を示せ。
(2) とおく。自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(3) のとき、 (nは自然数)を求めよ。

解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用してを求めることになります。

 ・・・①
よって、

(2) 数学的帰納法により示します。
() のとき、
より、成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
①より、なので、


よって、のときにも成り立ちます。
()()より、自然数nに対して、が成り立ちます。

別解 と書けて、
 (つまり、は積について交換できる)
ので、二項定理より、
 ・・・②
(1)より、なので、のとき、
です。これより、②では、のところだけが生き残って、

(3) のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、
となるので、(1)の場合になります。
また、(2)の結果でとすることにより、
......[]

追記.固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]

とする。条件をみたす整数
abcdを成分とする行列を適当に選ぶとき、が成り立つ。このとき、
(1) xyを求めよ。
(2) ()を求めよ。

では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、


 ・・・①
3式より、 ・・・②
これを第
1式×に代入すると、より、

......[]
②より、
①の第
4式より、
これとより、

y2の約数ですが、より、こうなるのは、のときのみです。
......[]
とすることになりますが、(2)は、(1)と無関係に、
ハミルトン・ケーリーの定理より、 ・・・③
として、二項定理より、

③より、では、となるので、


......[]
とするべきです。

さて、
2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、BCDPQ2次の正方行列、E2次の単位行列として考えることにします。


という漸化式は、言ってみれば、公比
Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項

です。


2項間漸化式
 ・・・①
は、数列の場合と同様に、
Dに置き換えた
 ・・・②
を考えると、

従って、存在すれば

として、①-②を作ると、

「行列」列は、公比
Bの等比「行列」列なので、


となり、行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。として、①の項番号を
1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、



 ・・・・・・

これらを足し合わせると、両辺の,・・・,が消し合って、
 
()
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとしてであれば、

を解き、

(スペクトル分解を参照)より、

 
()
 ()
となります。
固有値
1が重解になっている()場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、





 ()

3項間漸化式
 ・・・③
では、かつが存在すれば、③を、
 ・・・④
 ・・・⑤
2通りに書き換えて、
が公比
Cの「行列」列であることから、
 ・・・⑥
が公比
Bの「行列」列であることから、
 ・・・⑦
⑥-⑦としてを左からかけることにより、

と、数列と同様に求めることができます。
のときには⑤は作れますが④が成立しません。⑦は使えるので、が存在しない場合も含めて以下のようにします
(このタイプの問題は、山口大医'08[4]を参照)
として、⑦の項番号を
1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、


 ・・・・・・

これらを足し合わせると、左辺の,・・・,が消し合って、

 ()
の形を求めれば、を求めることができます。

以下に
2項間漸化式の場合の問題例を挙げます。

金沢大理工
'08年前期[1]

自然数
nに対して、2次正方行列
 ()
により定める。また、2次正方行列
 ()
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) 数学的帰納法を用いて
 ()
が成り立つことを示せ。
(2) ある2次正方行列Cに対して、がすべてのnについて成り立つとする。このとき、Cを求めよ。
(3) (2)の条件をみたすのうち、逆行列をもたないものはに限ることを示せ。

解答
(1) () のとき、
より成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。
より、のときも成り立ちます。
()()より、
 ()
が成り立ちます。
注.として、ハミルトン・ケーリーの定理より、
より、Dの固有値は23で、を連立すると、

ここからも、
となります。

(2) として、
 ・・・①
Gと置き換えた式
 ・・・②
より、
を左からかけて、
①-②より、
(1)と全く同じ形の漸化式に従っています。
 ・・・③
となるので、同様に、
 ・・・④
 ・・・⑤
⑤がすべてのnについて成り立つとすれば、においても成り立つので、
においても成り立つので、
として、

これらを満たす
abcdは、のみで、

逆に、のとき、すべてのnについて⑤が成り立ちます。
......[]

(3) (2)よりなので、④において、
③より、
の行列式は、
のとき、
のとき、より、
よって、の中で逆行列をもたないものはに限ります。
その2へつづく

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/05(月) 14:43:16|
  2. '08年入試(数学)
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東工大数学'08年後期[2]

東工大数学'08年後期[2]

自然数nに対して
とおく。極限値を求めよ。

解答 面倒な計算問題ですが、東工大を目指すのであれば、この程度の計算だと、構想5分、計算10分、見直し5分、くらいでこなせて欲しいと思います。
絶対値記号を含む関数の積分の問題です。まず、絶対値を外すところから始めましょう。
において、ですが、の範囲を、の正負が切り替わるのに従って、
() () (),・・・,と分けることにします。
つまり、として、に分けることにします。

kが奇数のとき、において、
kが偶数のとき、において、
これより、積分区間を、

つまり、 ()に分けて(定積分を参照)

 ・・・①
 (部分積分法を参照)




①に代入して、

 (数列の求和技法を参照)

 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2008/12/29(月) 16:12:28|
  2. '08年入試(数学)
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