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東大物理'03年前期[1]

東大物理'03年前期[1]

 図1のように、質量の物体Aと質量Mの物体Bが、ばね定数kの質量の無視できるばねによってつながれて、なめらかで水平な床の上に静止していた。また、物体Aはかたい壁に接していた。床の上を左向きに進んできた物体Cが、物体Bに完全弾性衝突して、跳ね返された。右向きを正の向きと定めると、衝突直後の物体Cの速度は (),物体Bの速度は ()であった。その後、物体Bと物体Cが再び衝突することはなかった。
Ⅰ まず、衝突前から物体Aが壁から離れるまでの運動を考える。
(1) 衝突前の物体Cの速度 ()を用いて表せ。
(2) ばねが最も縮んだときの自然長からの縮みx ()を求めよ。
(3) 衝突してからばねの長さが自然長に戻るまでの時間Tを求めよ。
Ⅱ ばねの長さが自然長に戻ると、その直後に物体Aが壁から離れた。
(1) やがて、ばねの長さは最大値に達し、そのときの物体Aと物体Bの速度は等しくなった。その速度を求めよ。
(2) ばねの長さが最大値に達したときの自然長からの伸びy ()を求めよ。
(3) その後ばねが縮んで、長さが再び自然長に戻ったとき、物体Aの速度は最大値Vに達した。Vを求めよ。
Ⅲ 物体Aが壁から離れた後、物体Bと物体Cの間隔は、ばねが伸び縮みを繰り返すたびに広がっていった。このことからわかるの関係を、不等式で表せ。

解答 こうした単振動の問題では、極力、運動方程式を立てずに、エネルギー的考察(エネルギーの原理力学的エネルギー保存則)で考えるようにしましょう。運動方程式に頼るとどうしても微積分が出てきて、遠回りになります。

......[]
(2) 衝突直後のA+B力学的エネルギーは、運動エネルギーのみ。
ばねが最も縮んだとき(ABとも速度0)A+B力学的エネルギーは、弾性エネルギーののみ。
力学的エネルギー保存より、
......[]
(3) 物体Bの運動は単振動で、速さの最大値は振幅 ((2)で求めた最大の縮み振幅になります)
単振動の角振動数w として、公式:より、

求める時間Tは、単振動の半周期で、 ......[]

Ⅱ ばねが自然長に戻ると、ばねがAに及ぼす0,従って、壁がAに及ぼす0になり、この直後に、Aは壁から離れます。このとき、A速度0B速度 (Cとの衝突直後と等大逆向き)です。
(1) ばねの伸びが最大になるとき、Aから見てBは止まります。ということは、床から見ると、AB速度は同じ速度になります。
外部からABとばねからなる系に働いているはありません。従って、運動量保存則が成立します。Cとの衝突直後、Bだけが運動量を持っていて、ばねの伸びが最大になるとき、AB運動量は、です。
運動量保存より、
......[]

(2) C との衝突後最初にばねが自然長に戻るとき、Bだけが運動エネルギーを持っていて、A運動エネルギーとばねの弾性エネルギー0です。
ばねの長さが最大になったとき、A運動エネルギーは、B運動エネルギーは、,このときのばねの伸びyなので、ばねの弾性エネルギーは、
この系に対して仕事をしているは存在しないので、力学的エネルギー保存より

......[]

(3) ばねが自然長に戻ったときのB速度vとして、
運動量保存より ・・・①
力学的エネルギー保存より ・・・②
①より、
②に代入して、

なので、 ......[]

Ⅲ ABを一体と考えて、重心の速度とする(運動量保存より、重心は等速度運動をします)と、
運動量保存より

C速度で等速度運動するので、BC間隔が広がってゆくためには、,即ち、
......[]
であればよいことになります。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2008/05/06(火) 12:39:34|
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東大物理'04年前期[3]

東大物理'04年前期[3]

 図3のように、二つの容器12のそれぞれに1モルの気体12を入れ、水平な床に固定する。これらの気体はともに理想気体とする。二つの容器は摩擦なしに水平に動くことのできるピストンAでつながれている。ピストンAの容器1内の底面積はであり、容器2内の底面積はである。容器2にはさらに、上下に動くことのできるピストンBがついており、その上に質量mのおもりがのせてある。ピストンBの底面積はSであり、その質量は無視できる。容器1には体積の無視できるヒーターが取り付けられている。ピストンABと容器は熱を通さない。気体は容器の外にもれず、容器の外は真空である。気体定数をR,重力加速度をgとする。
Ⅰ ピストンBが動かないように固定されている場合を考える。
(1) ピストンAが静止している状態において、気体1の圧力と気体2の圧力の間に成り立つ関係式を書け。
(2) はじめ気体1の方が気体2より温度が低く、気体1の体積が,気体2の体積がであった。ヒーターで気体1を加熱して気体12を等しい温度にした。このときの気体2の体積を、を用いて表せ。
Ⅱ ピストンBが摩擦なく動くことができる場合を考える。ピストンABが静止している状態において、気体1の温度がTであるとき、気体1の体積を、STRmgを用いて表せ。
Ⅲ 問Ⅱの状態から気体Ⅰをヒーターで加熱したところ、気体1の温度はになり、気体2の温度は変わらなかった。また、ピストンAは右に距離xだけゆっくりと移動し、ピストンBhだけ上昇した。
(1) 移動距離xを、Shを用いて表せ。
(2) 温度を、TRmghを用いて表せ。
(3) 気体1は単原子理想気体として、ヒーターから加えられた熱量Qを、mghを用いて表せ。

解答 東大物理でよく見られる、数多くの条件をどう取捨選択して使い回して行くか、というところに頭を使う問題です。気体の問題としては難問ではありません。なお、理想気体を参照してください。

(1) 気体1,気体2圧力とします。
ピストンAは、気体1から右向きにを受け、気体2から左向きにを受けます。
ピストンAに働く力のつり合い
......[]

(2) 状態方程式と力のつり合いを考えるだけでは条件が不足します。問題文の先の方を読んでみると、ⅢでピストンAが右に距離x動く、という記述があります。ピストンの移動距離に着目してみます。
気体1を加熱したとき、ピストンAが右(気体1は温度上昇しているから膨張する)x動くとします。気体1体積から増加してになり、気体2体積から減少してになったとします。
より
・・・①

加熱後の気体1圧力,気体1と気体2絶対温度Tとして、
気体1状態方程式 ・・・②,気体2の状態方程式: ・・・③
また、ピストンAに働く力のつり合いより、 ・・・④
②,③,④より、
これを①に代入すると、 ∴ ......[]

Ⅱ ここでも、ピストンAに働く力のつり合いから、気体1と気体2圧力の間に、という関係が成立します。
ピストンBに働く力のつり合い:


気体1の状態方程式: ・・・⑤
......[]

Ⅲ 余程の自信がある人でない限り、こういう問題は、はじめから上手にやろうとすると失敗します。手の着くところ順々に攻めていきます。
まず気体2を考えます。気体2は、温度が変わらないので内部エネルギーは変化しません
気体2ではのやりとりもないので、熱力学第一法則より、ピストンAからされた仕事はそのままピストンBを持ち上げる仕事になります。
ということは、気体2の状態は何も変化しないということです。つまり、気体2圧力体積は、一定値、のままと考えられます。
さらに、ピストンAに働く力のつり合いより、気体1圧力は一定で、気体1が定圧変化をしていることがわかります。
(1) 気体2体積について:
......[]

(2) (1)の結果を用いると、加熱後の気体1体積は、
気体1圧力として、加熱後の気体1の状態方程式: ・・・⑥
⑥÷⑤より、 (シャルルの法則)
......[]

(3) 気体1定圧変化をしているので、定圧モル比熱の式を利用します(モル比熱を参照)
単原子分子理想気体では、定積モル比熱は,定圧モル比熱はです。
気体1について、定圧モル比熱の式により、ヒーターから加えられた熱量Qは、
......[]


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  1. 2008/04/28(月) 22:50:44|
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東大物理'04年前期[2]

東大物理'04年前期[2]

2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q (),質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極ab間の電圧Vで+y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極cd ()からなる偏向部に入る。cd間には+z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極c,dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
Ⅰ 電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さを、Vqmを用いて表せ。
Ⅱ その後、陽子は直進し、速さのままで偏向部に入る。
(1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)を、qmlEを用いて表せ。
(2) Eがある値より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値を、Vlhを用いて表せ。
Ⅲ 陽子のかわりにアルファ粒子(電荷,質量)を用いて同じVEの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)であった。を用いて表せ。
Ⅳ Eの値をに固定し、電極cdにはさまれた領域に+x方向に磁束密度B ()の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。
(1) Bをある値にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間を要した。を、lを用いてそれぞれ表せ。
(2) Bをある値 ()にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、 ()であった。このときの陽子の速さを、qmVを用いて表せ。
(3) Bの範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2()()の中から最も適当なものを一つ選べ。

解答 Ⅳでローレンツ力の向きが方向からずれるので、少し考えなければいけませんが、エネルギー的考察で解決できます。

Ⅰ 陽子a-b間の電界よりエネルギーを受け取って加速され、速さとなります。エネルギーの原理より、
......[]

(1) 電極b通過後、陽子は、y方向にを受けないので、y方向では等速度運動します。速さ距離l進む時間は、
z方向の陽子加速度成分aとして、この方向の運動方程式

z方向の陽子の運動は等加速度運動で、時間の間に進む距離は、
......[]

(2) 陽子が電極cに衝突しないために、
(1)の結果を代入して、
......[]

Ⅲ Ⅱ(1)の結果に、Ⅰの結果を代入すると、
・・・①
陽子アルファ粒子に代わると、のとき、となるが、①式は、qmを含まないので、陽子アルファ粒子に代わっても、変位は変化しません。よって、 ......[]

(1) 陽子が偏向部を直進したということは、陽子に働くz成分が0になったということです。陽子が受けるローレンツ力は、大きさで、フレミング左手の法則より、z軸負方向を向きます。
陽子に働くz方向のつり合い
......[]
偏向部を通過する時間は、磁界のない場合(Ⅰの)と同じです。
......[]

(2) 磁界が及ぼすローレンツ力と、電界が及ぼす力の合力は、向きが絶えず変化するので、この問題は、運動方程式を立てても解くことができません。そこでエネルギーを考えます
ローレンツ力はつねに陽子速度垂直なので、陽子に対して仕事をしません陽子仕事をするのは電界だけです。
電界陽子に及ぼすにより、だけ変位するので、電界陽子にする仕事は、
エネルギーの原理より、
......[]

(3) のとき、Ⅰより、
のとき、Ⅳ(1)より、
においては、右図のように、速度に垂直にローレンツ力が働き、このローレンツ力y成分によって、陽子速さが増大するから、偏向部を通過する時間は短くなります。よって、グラフは、() ......[] を選びます。


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  1. 2008/04/27(日) 12:39:02|
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東大物理'04年前期[1]

東大物理'04年前期[1]

1-1のように水平に対しての角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面がとなる位置にあり、BAの上面の右端、すなわち、の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
Ⅰ ABの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) Fを取り除いたところ、ABは運動を開始した。その後、BA上面の左端に達した。この瞬間のBy座標を求めよ。
(3) BA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
Ⅱ 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのABの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれm(ただし、)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問Ⅰ(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。
(1) mが十分に大きい場合、BA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度y方向の加速度を求めよ。
(2) mがある値より大きければBA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値を求めよ。
(3) mより小さい場合に、Bが最初の位置からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3()()の中から一つ選べ。ここではそれぞれ、Bの最初の位置、BA上面の点Pに達した瞬間の位置、BA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線を示す。

解答 簡単な状況設定ですが、しっかり物理的に考察する必要があります。

(1)  右図のように、ABを一体として考えます。静止したままなので、ABに働く力のつり合いの式を立てます。
水平方向:
鉛直方向:
......[]

(2) Bに働くの水平成分は0です。B初速度の水平成分も0です。よって、Bは水平方向には動かず、真下に向かって運動します。
A上面の左端に達したときのBy座標d ......[]

(3) AB間の垂直抗力AB間のBの運動方向と垂直に働くから仕事をしません。斜面とAの間の垂直抗力仕事をしません。従って、ABについて力学的エネルギー保存則が成立します。
・・・① (力学的エネルギー保存則を参照)
ABともに等加速度運動するので、両者の加速度の大きさをAa(1)(2)時間とします。

より、
①に代入すると、
 ......[]

(1) 斜面に沿う方向に働くは、重力の斜面に沿う方向の成分:です。
A+Bの斜面に沿う方向の加速度aとして、斜面に沿う方向の運動方程式

......[]

(2) Aの斜面に沿う方向の加速度は下向きにで、右図のように、A上で見てBは斜面に沿って上向きに慣性力を受けます。のとき、滑り出す限界になりますが、滑り出す限界において、A上で見てBはまだ動いていないので、Bに働く力のつり合いが成立します。Bが受ける静止摩擦力の大きさをf垂直抗力の大きさをとして、力のつり合いの式は、
水平方向:,鉛直方向:
これより、
滑り出す限界では静止摩擦力最大静止摩擦力に等しく、より、
......[]

(3) ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動します。
Bの水平方向、鉛直方向の加速度成分をabとして、
これよりを消去して、,このグラフは直線です。
では、鉛直方向は等加速度運動(加速度の大きさをとします)で水平方向は等速度運動になります。Bに達する時刻におけるB速度の水平成分、鉛直成分をの座標をとして、Bの位置は、

これよりを消去して、
このグラフは上に凸な放物線です。
が直線で、が上に凸な放物線になっているグラフは() ......[]
式を立てなくても、ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動,では、鉛直方向は等加速度運動で水平方向は等速度運動(一種の斜方投射)というところからグラフを選択できるでしょう。


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  1. 2008/04/26(土) 22:21:32|
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