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京大理系数学'08年前期乙[6]

京大理系数学'08前期乙[6]

地球上の北緯東経の地点をA,北緯東経の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路を考える。は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。に比べては飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ。
注:大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。

三角関数表(1)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
0.0°0.0000 1.0000 0.0000 22.5°0.3827 0.9239 0.4142
0.5°0.0087 1.0000 0.0087 23.0°0.3907 0.9205 0.4245
1.0°0.0175 0.9998 0.0175 23.5°0.3987 0.9171 0.4348
1.5°0.0262 0.9997 0.0262 24.0°0.4067 0.9135 0.4452
2.0°0.0349 0.9994 0.0349 24.5°0.4147 0.9100 0.4557
2.5°0.0436 0.9990 0.0437 25.0°0.4226 0.9063 0.4663
3.0°0.0523 0.9986 0.0524 25.5°0.4305 0.9026 0.4770
3.5°0.0610 0.9981 0.0612 26.0°0.4384 0.8988 0.4877
4.0°0.0698 0.9976 0.0699 26.5°0.4462 0.8949 0.4986
4.5°0.0785 0.9969 0.0787 27.0°0.4540 0.8910 0.5095
5.0°0.0872 0.9962 0.0875 27.5°0.4617 0.8870 0.5206
5.5°0.0958 0.9954 0.0963 28.0°0.4695 0.8829 0.5317
6.0°0.1045 0.9945 0.1051 28.5°0.4772 0.8788 0.5430
6.5°0.1132 0.9936 0.1139 29.0°0.4848 0.8746 0.5543
7.0°0.1219 0.9925 0.1228 29.5°0.4924 0.8704 0.5658
7.5°0.1305 0.9914 0.1317 30.0°0.5000 0.8660 0.5774
8.0°0.1392 0.9903 0.1405 30.5°0.5075 0.8616 0.5890
8.5°0.1478 0.9890 0.1495 31.0°0.5150 0.8572 0.6009
9.0°0.1564 0.9877 0.1584 31.5°0.5225 0.8526 0.6128
9.5°0.1650 0.9863 0.1673 32.0°0.5299 0.8480 0.6249
10.0°0.1736 0.9848 0.1763 32.5°0.5373 0.8434 0.6371
10.5°0.1822 0.9833 0.1853 33.0°0.5446 0.8387 0.6494
11.0°0.1908 0.9816 0.1944 33.5°0.5519 0.8339 0.6619
11.5°0.1994 0.9799 0.2035 34.0°0.5592 0.8290 0.6745
12.0°0.2079 0.9781 0.2126 34.5°0.5664 0.8241 0.6873
12.5°0.2164 0.9763 0.2217 35.0°0.5736 0.8192 0.7002
13.0°0.2250 0.9744 0.2309 35.5°0.5807 0.8141 0.7133
13.5°0.2334 0.9724 0.2401 36.0°0.5878 0.8090 0.7265
14.0°0.2419 0.9703 0.2493 36.5°0.5948 0.8039 0.7400
14.5°0.2504 0.9681 0.2586 37.0°0.6018 0.7986 0.7536
15.0°0.2588 0.9659 0.2679 37.5°0.6088 0.7934 0.7673
15.5°0.2672 0.9636 0.2773 38.0°0.6157 0.7880 0.7813
16.0°0.2756 0.9613 0.2867 38.5°0.6225 0.7826 0.7954
16.5°0.2840 0.9588 0.2962 39.0°0.6293 0.7771 0.8098
17.0°0.2924 0.9563 0.3057 39.5°0.6361 0.7716 0.8243
17.5°0.3007 0.9537 0.3153 40.0°0.6428 0.7660 0.8391
18.0°0.3090 0.9511 0.3249 40.5°0.6494 0.7604 0.8541
18.5°0.3173 0.9483 0.3346 41.0°0.6561 0.7547 0.8693
19.0°0.3256 0.9455 0.3443 41.5°0.6626 0.7490 0.8847
19.5°0.3338 0.9426 0.3541 42.0°0.6691 0.7431 0.9004
20.0°0.3420 0.9397 0.3640 42.5°0.6756 0.7373 0.9163
20.5°0.3502 0.9367 0.3739 43.0°0.6820 0.7314 0.9325
21.0°0.3584 0.9336 0.3839 43.5°0.6884 0.7254 0.9490
21.5°0.3665 0.9304 0.3939 44.0°0.6947 0.7193 0.9657
22.0°0.3746 0.9272 0.4040 44.5°0.7009 0.7133 0.9827
22.5°0.3827 0.9239 0.4142 45.0°0.7071 0.7071 1.0000


三角関数表(2)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
45.0°0.7071 0.7071 1.0000 67.5°0.9239 0.3827 2.4142
45.5°0.7133 0.7009 1.0176 68.0°0.9272 0.3746 2.4751
46.0°0.7193 0.6947 1.0355 68.5°0.9304 0.3665 2.5386
46.5°0.7254 0.6884 1.0538 69.0°0.9336 0.3584 2.6051
47.0°0.7314 0.6820 1.0724 69.5°0.9367 0.3502 2.6746
47.5°0.7373 0.6756 1.0913 70.0°0.9397 0.3420 2.7475
48.0°0.7431 0.6691 1.1106 70.5°0.9426 0.3338 2.8239
48.5°0.7490 0.6626 1.1303 71.0°0.9455 0.3256 2.9042
49.0°0.7547 0.6561 1.1504 71.5°0.9483 0.3173 2.9887
49.5°0.7604 0.6494 1.1708 72.0°0.9511 0.3090 3.0777
50.0°0.7660 0.6428 1.1918 72.5°0.9537 0.3007 3.1716
50.5°0.7716 0.6361 1.2131 73.0°0.9563 0.2924 3.2709
51.0°0.7771 0.6293 1.2349 73.5°0.9588 0.2840 3.3759
51.5°0.7826 0.6225 1.2572 74.0°0.9613 0.2756 3.4874
52.0°0.7880 0.6157 1.2799 74.5°0.9636 0.2672 3.6059
52.5°0.7934 0.6088 1.3032 75.0°0.9659 0.2588 3.7321
53.0°0.7986 0.6018 1.3270 75.5°0.9681 0.2504 3.8667
53.5°0.8039 0.5948 1.3514 76.0°0.9703 0.2419 4.0108
54.0°0.8090 0.5878 1.3764 76.5°0.9724 0.2334 4.1653
54.5°0.8141 0.5807 1.4019 77.0°0.9744 0.2250 4.3315
55.0°0.8192 0.5736 1.4281 77.5°0.9763 0.2164 4.5107
55.5°0.8241 0.5664 1.4550 78.0°0.9781 0.2079 4.7046
56.0°0.8290 0.5592 1.4826 78.5°0.9799 0.1994 4.9152
56.5°0.8339 0.5519 1.5108 79.0°0.9816 0.1908 5.1446
57.0°0.8387 0.5446 1.5399 79.5°0.9833 0.1822 5.3955
57.5°0.8434 0.5373 1.5697 80.0°0.9848 0.1736 5.6713
58.0°0.8480 0.5299 1.6003 80.5°0.9863 0.1650 5.9758
58.5°0.8526 0.5225 1.6319 81.0°0.9877 0.1564 6.3138
59.0°0.8572 0.5150 1.6643 81.5°0.9890 0.1478 6.6912
59.5°0.8616 0.5075 1.6977 82.0°0.9903 0.1392 7.1154
60.0°0.8660 0.5000 1.7321 82.5°0.9914 0.1305 7.5958
60.5°0.8704 0.4924 1.7675 83.0°0.9925 0.1219 8.1443
61.0°0.8746 0.4848 1.8040 83.5°0.9936 0.1132 8.7769
61.5°0.8788 0.4772 1.8418 84.0°0.9945 0.1045 9.5144
62.0°0.8829 0.4695 1.8807 84.5°0.9954 0.0958 10.385
62.5°0.8870 0.4617 1.9210 85.0°0.9962 0.0872 11.430
63.0°0.8910 0.4540 1.9626 85.5°0.9969 0.0785 12.706
63.5°0.8949 0.4462 2.0057 86.0°0.9976 0.0698 14.301
64.0°0.8988 0.4384 2.0503 86.5°0.9981 0.0610 16.350
64.5°0.9026 0.4305 2.0965 87.0°0.9986 0.0523 19.081
65.0°0.9063 0.4226 2.1445 87.5°0.9990 0.0436 22.904
65.5°0.9100 0.4147 2.1943 88.0°0.9994 0.0349 28.636
66.0°0.9135 0.4067 2.2460 88.5°0.9997 0.0262 38.188
66.5°0.9171 0.3987 2.2998 89.0°0.9998 0.0175 57.290
67.0°0.9205 0.3907 2.3559 89.5°1.0000 0.0087 114.59
67.5°0.9239 0.3827 2.4142 90.0°1.0000 0.0000 ------


解答 実質的に甲[6]の問題と同一問題です。

地球の半径をRとします。
北緯
で地球を切った切り口の円(右図で橙色の円)とします。地球上の2ABはいずれも北緯なので、上の点です。また、の半径は、です。
ABを通る大円をとします。ABは当然上の点です。また、地球の中心を通る平面で切った切り口の円(右図で水色の円)なので、の半径はRです。
右下図のように、
ABで交差させるように同一平面上に描けば、は明らかです。
地軸
(北極と南極を結ぶ線分)を含む平面との交点をPとして、より、
 (弧長の公式は、一般角を参照) 
ABは円の半径に等しくです。
地球の中心を
Oとして、∠AOBq とおくと、q は鋭角で、三角形AOBにおいて余弦定理より、
であって、三角関数表で、より、より、
よって、に比べては飛行距離が3%以上短くなります。


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京大理系数学'08年前期乙[4]

京大理系数学'08前期乙[4]

定数aは実数であるとする。関数のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

解答 式変形により[4]の問題に帰着します。

 ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

よって、

 ・・・③
 ・・・④ または、 ・・・⑤
2次方程式④の判別式: 
2次方程式⑤の判別式: 
2次方程式④は、のときに、相異なる2実数解、のときに実数の重解をもち、のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)
2次方程式⑤は、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。

の場合に、③,⑤に共通解があるかどうか調べます。
④×
3-⑤として、

③,⑤に共通解があるとすれば、これが共通解です。
④に代入すると、

 (です)
(i) のとき、
④:
⑤:
よって、③は、3実数解を持ちます。
(ii) のとき、
④:
⑤:
よって、③は、3実数解を持ちます。
(i)(ii)以外のaについては、④,⑤が共通解を持つことはありません。

以上より、①,②のグラフの共有点の個数は、
のとき、4
のとき、3
のとき、2 ......[]


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京大理系数学'08年前期乙[3]

京大理系数学'08前期乙[3]

空間の1Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

解答 ベクトルで考えるのがラクです。「存在する」ことを示すためには、条件に合うものを求める方法を説明します。ここでは、平行四辺形の求め方を説明すれば、「存在する」ことを示したことになります。なお、直線のベクトル方程式空間ベクトルを参照してください。

Oを原点とし、4直線の方向ベクトルをとします。
また、
4直線上の点を、A()B()C()D()とします(こうできるのは、4直線とも点Oを通るからです)
どの
3直線も同一平面上に存在しないので、3ベクトルは1次独立で、を、0ではない3つの実数の定数pqrを用いて、
と表すことができます。
注.例えば
だとすると、は、の作る平面内のベクトルになり、を方向ベクトルとする3直線は同一平面上の直線になってしまいます。


ここで、とすると、の係数について、
 ・・・①
この①が満たされれば、となるので、四角形ABDCは平行四辺形です。

空間の
1Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものが与えられ、つまり、3つの1次独立なベクトルと、3つの0ではない実数の定数pqrと、が与えられたとき、
より、例えば①を用いて、と定め、を方向ベクトルとする4直線上の点A()B()C()D()をとります。stuvはいずれも0ではないので、ABCDOとは異なる点です。それでいてかつ、となり、四角形ABDCが平行四辺形になります。
この平行四辺形
ABDCを含む平面を選べば、
4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在します。


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京大理系数学'08年前期甲[6]

京大理系数学'08前期甲[6]

空間内に原点Oを中心とした半径1の球面Sを考え、S上の2点をABとする。で与えられる平面でSを切った切り口の円において、ABを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする。また3OABを通る平面でSを切った切り口の円において、ABを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする。このときを証明せよ。

解答 複雑そうに見えますが、2つの円を同一平面上に描いてしまえば、明らかです。

平面Sを切った切り口の円(右図で橙色の円)とします。S上の2ABはいずれもz座標がなので、上の点です。また、の半径は、です。
3OABを通る平面でSを切った切り口の円(右図で水色の円)とします。ABは当然上の点です。また、Sの中心を通る平面で切った切り口の円なので、の半径は1です。
右下図のように、
ABで交差させるように同一平面上に描けば、は明らかですが、ここでは計算してみます。
 (空間座標を参照)
よって、平面z軸との交点Pとして、PAPBABより、∠APB
 (弧長の公式は、一般角を参照)
また、∠AOBq とおくと、q は鋭角で、三角形AOBにおいて余弦定理より、
()より、

 (証明終)


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京大理系数学'08年前期甲[5]

京大理系数学'08前期甲[5]

次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える。
   
 
xy平面上の直線を含み、xy平面との角をなす平面のうち、点を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで二つに分けるとき、点を含む方の体積を求めよ。

解答 どんな問題集にも載っているようなタイプの求積問題です。定積分と体積を参照してください。

体積を求める立体をKとします。右図でクリーム色の平面Hの下側の部分になります。
Ky軸に垂直な平面 ()で切ると、右図のように、断面は長方形R (右図橙色の部分)になります。
平面
Hyz平面に垂直な方向から眺めると、yz平面上の直線に重なって見えます。
のとき、となるので、Rの縦の長さはです。
立体を
xy平面に垂直な方向から眺めると、円柱のふちは、円:に重なって見えます。のとき、となるので、Rの横の長さはです。
よって、長方形
Rの面積は、
求める体積Vは、の範囲に立体が存在するので、
は、とおくと(置換積分を参照),両辺を微分して(陰関数の微分法を参照)kのとき、t
は、右図の緑色部分の面積に等しく(は、円の部分です)
 (置換積分(その2)を参照)
よって、
......[]


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