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京大理系数学'08年前期甲[5]検討

京大理系数学'08前期甲[5]検討

[5](解答はこちら) どんな問題集にも出ていて、理工系の受験生であれば一度は目にしたことがあるだろうという問題です。立体をy軸に垂直な平面で切った断面の面積をy軸方向に積分すればよい、ということは理工系の受験生であれば誰でも知っているはずのことです。問題そのものは標準問題なのですが、正答率が高いか、というとそういうものではありません。計算問題であるがゆえに、ケアレスが入り込みやすく、こういう問題の正答率は意外に低いものなのです。

これから微分・積分を極めよう、という皆さんに申し上げておくと、立体の切断面を考えるときは、その面積を求めやすい方向から立体を切ります。この問題では、
y軸に垂直に切ります。切断面は長方形になるので、面積を求めるためには、縦と横の長さを、切断面のy座標kで表します。縦と横の長さを求めるためには、立体を真上から眺めたり、x軸に平行に眺めたりします。それぞれ、どのように見えるのか、図示して考えるようにしましょう。
定積分は、断面積を、立体が存在する
y座標の範囲について積分します。

定積分は
2つの部分に分けられます。
片方は、
という積分です。この積分は、を含む式がついているという形:をしています。この場合は、通常、という置換をしますが、これでは、となり、根号内がとなっておもしろくないのです。そこで、とおけば、となって、計算しやすくなります。解答では、の積分よりももっとラクにしようということで、根号全体tと置きました。できる限り計算ミスをしにくいような計算法を心がけてください。
もう一方は、
という積分です。この積分は、という置換をするのが定石です。 というようにしても積分できますが、解答のように、 (2乗してみてください)は、円:の部分を表すので、円の面積の一部として暗算で求めてしまえば早くすみます。

こういう計算問題は、誰がやってもミスをし易いものです。計算ミスをしたからと言って、自分を責めたりしないようにしましょう。何が大切かと言うと、誰でもミスはするものだ、ということを認めて、しっかりと検算することです。検算も、計算をした直後に行うと、脳内が沸騰していて、検算時にまた同じミスをやるので、一旦、他の問題に飛んで、計算過程を忘れてから見直すようにするとミスを発見し易くなります。


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  1. 2008/08/27(水) 09:44:58|
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京大理系数学'08年前期甲[4]検討

京大理系数学'08前期甲[4]検討

[4](解答はこちら) 展開して4次方程式にしてしまうのでは骨が折れます。定数aを分離するのも無理なことをすればできなくはありませんが、2つの2次方程式にしてしまう方がラクにすみます。ただ、2つの2次方程式が同じ解をもってしまう場合があるので、共通解があるかどうかを別に調べなければいけません。
最近、共通解の問題もあまり見かけません。解答に書いておいた共通解の技巧はポピュラーな技巧とは言えませんが、一応、見ておいてください。例えば、次のような問題で効果があります。
早大理工
'86[4]
実数abは、を満たすとする。このとき、つぎの二つの方程式
 ・・・(i)
 ・・・(ii)
は共通解を持たないことを示せ。

なお、定数の分離の技巧を無理に使う解法については(私ならやりませんが)、旺文社全国大学入試問題正解に掲載されいるので、興味のある方は参照してください。共通解の探し方も、この本にもう少し簡単にすむ方法が書いてあります。


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京大理系数学'08年前期甲[3]検討

京大理系数学'08前期甲[3]検討

[3](解答はこちら) こういう平面幾何の問題で意表をつかれて戸惑った受験生もいたかも知れません。
BCM=∠BCNというのは、BCが∠MCN2等分線ということなので、
MCCNMBBN12
が言えれば良いわけです。ACの中点Pをとって、PB // CNに気づけば、PBCN12となるので、あとは、PBMCが言えればよいことになります。
京大では、平面幾何の一部が高校に移ってくる以前から、平面幾何の利用によって簡単に解ける問題が出ていました。こうした問題が出題されるということは、京大入試では、平面幾何の知識が今後も役立つ、ということが言えるだろうと思います。


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京大理系数学'08年前期甲[2]検討

京大理系数学'08前期甲[2]検討

[2](解答はこちら) 正攻法で、ABCD4文字から1文字ずつ選んで個の文字を並べるのに、一番最初をAとして、同じ文字が隣接しないような並べ方を数える、というような考え方では難しいでしょう。確率・場合の数では、正攻法で難しければ「余事象」が切り札になります。
4頂点すべてに点Pが現れる」という事象の余事象ということになれば、4頂点のうち2頂点にしかPが来ない、または、4頂点のうち3頂点にしかPが来ない、ということになります。
2頂点に来るのは、Aともう一つの頂点を往復する場合です。確率はすぐに求められます。
3頂点に来る場合が問題ですが、例えば、ABC3頂点の中だけで動く場合の確率から、2頂点を往復する(既に求めている)場合の確率を引けばよいので、何とかなりそうです。

こうした確率の問題、特に、あまり難問とは言えないような問題で注意しなければいけないのは、思わぬミスです。重複カウントや場合分け忘れなどの勘違いで不覚をとることのないように気をつける必要があります。必ず、
nの小さな場合などで、確認をするように心がけてください。


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京大理系数学'08年前期甲[1]検討

京大理系数学'08前期甲[1]検討

[1](解答はこちら) 素直な受験生は、この問題を、のグラフと直線の位置関係から考えると思います。
は単調増加では全実数をとります。であれば、単調減少もしくは定数値をとると、は必ず交点をもってしまうので、
のときは、が接するところを求めるために、として、
のとき、y座標は、
直線よりも上を通過すれば、と共有点をもたないから、

というようにしてくれば、試験会場でも充分に実用的です。
ですが、入試問題は問題文に書かれているとおりに考えなければいけないというものではありません。別の角度から眺めることにより、難問が平凡な問題に変わってしまう、ということはよくあることです。

「定数の分離」という受験技巧がありますが、
定数だけ=xを含む式 ・・・()
という形にすると問題を捉えやすくなるのです(微分法の方程式への応用(2)を参照)
そこで、解答では、
を連立して、
()の形を作るために、定数qを分離して、
として、関数を考えました。
のグラフを描き、x軸に平行な直線qの値によってどの辺を通るか、ということを考えれば、の共有点について調べることができます。
「定数の分離」は応用範囲の広い技巧なので、すぐに思いつけるようにしておいてください。


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