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東大物理'08年前期[2]

東大物理'08年前期[2]

21のように、電圧を自由に変えられる直流電源とコンデンサーAおよびコンデンサーBを直列につなぎ、コンデンサーAと並列にネオンランプをつなぐ。このネオンランプは図22に示す電圧-電流特性を持ち、端子間にかかる電圧がに達すると点灯する。点灯したネオンランプは、電圧はを下回っても発光を続けるが、電圧がまで下がると消灯する。なお、ネオンランプの電気容量は無視できるものとし、コンデンサーABの電気容量をそれぞれで表す。

Ⅰ すべてのコンデンサーを放電させた後、電源電圧V0から少しずつ上げていくと、ある電圧でネオンランプが点灯し、その後、消灯した。以下の問に答えよ。ただし、答はを用いて表せ。また、ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間、電源電圧は一定であるものとしてよい。
(1) このときの電源電圧を求めよ。
(2) 点灯直前にコンデンサーABに蓄えられていた静電エネルギーをそれぞれとおき、消灯直後にコンデンサーABに蓄えられている静電エネルギーをそれぞれとおく。この間の静電エネルギーの変化およびを求めよ。
(3) 電源は、電源内で負極から正極へ電荷を運ぶことにより、ネオンランプおよびコンデンサーにエネルギーを供給している。また、ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が運んだ電荷の量は、この間にコンデンサーBに新たに蓄えられた電荷の量と等しい。ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が供給したエネルギーを求めよ。
(4) 点灯してから消灯するまでの間にネオンランプから光や熱として失われたエネルギーを求めよ。

Ⅱ ネオンランプの消灯後、さらに電源電圧Vから少しずつ上げていくと、ある電圧でネオンランプが再び点灯し、その後、消灯した。以下の問に答えよ。
(1) 問Ⅰにおいて、点灯してから消灯するまでの間にネオンランプを通過した電荷の量をQとする。電源電圧Vを超えてに達するまでの間、コンデンサーAにかかる電圧QVを用いて表せ。ただし、この間、ネオンランプに電流が流れることはないため、図21の回路は図23の回路と等価である。また、電荷がコンデンサーを通り抜けることはないため、コンデンサーABに蓄えられている電荷をそれぞれとおけば、コンデンサーAの下側の極板とコンデンサーBの上側の極板をつないだ部分に蓄えられた正味の電荷の量Vによらず一定であり、Qと等しいことを用いてよい。
(2) 点灯時の電源電圧を用いて表せ。

解答 この問題も、作業内容が問題文で指示されているので難しくはありませんが、第1問と同様にボリュームがあるので、処理速度が要求されます。なお、コンデンサーを参照してください。

(1) 直列接続で、両者に蓄えられる電荷は等しく(合成容量の公式を参照)、点灯したとき、電圧 電圧なので、
......[] ・・・①

(2) 電圧は、点灯直前に,消灯直後になので、
点灯直前の静電エネルギー (静電エネルギーについては、コンデンサーの過渡現象を参照)
消灯直後の静電エネルギー
これより、点灯直前と消灯直後での静電エネルギーの変化は、
......[]
電圧は、点灯直前に,消灯直後になので、
点灯直前の静電エネルギー
消灯直後の静電エネルギー
これより、点灯直前と消灯直後での静電エネルギーの変化は、


 (①を代入)
......[]

(3) について、
点灯直前に蓄えている電荷
点灯直後に蓄えている電荷 ・・・②
電荷の増分は、
問題文にあるように、これが、電源が供給した電荷(が放電した電荷は、の上側の極板からネオンランプを通過しての下側の極板に移り、の方には行かない)で、電源が供給したエネルギーは、①より、
......[]

(4) 点灯してから消灯するまでの間にネオンランプから光や熱として失われたエネルギーは、点灯直前にが持っていた静電エネルギーと電源が供給したエネルギーとの和:から、消灯直後にが持っていた静電エネルギーを引いたものです。(2)(3)の結果を用いて、


......[]
電源から見るとは直列ですが、ネオンランプから見ると並列だと言っているわけです。

(1) Vの間にコンデンサーBにかかる電圧とします。
キルヒホッフ第2法則より、 ・・・③
に蓄えられている電荷は、です。より、
 ・・・④
③,④を連立して解くと、
......[]

(2) 点灯するとき、(1)の結果より、
 ・・・⑤
問Ⅰにおいて消灯直後にが蓄えている電荷は、
消灯直後にが蓄えている電荷は、②より、
従って、コンデンサーAの下側の極板とコンデンサーBの上側の極板をつないだ部分に蓄えられた正味の電荷の量Qは、
 ( )
 (ネオンランプから見るとは並列です)
 ⑤に代入して、
......[]


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  1. 2008/03/01(土) 16:24:48|
  2. 東大物理'08年
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東大物理'08年前期[1]

東大物理'08年前期[1]

質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。ABC3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Aの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。ABC全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。

Ⅰ Cが用いたばねのばね定数kmTを用いて表せ。

Ⅱ A,BCそれぞれの場合について、箱の速さを時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さTLを用いて表せ。

Ⅲ ABCそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をmTLを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事とⅡで求めた速さとの関係を求めよ。

Ⅳ 箱を静止した状態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力をとし、ABCの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。

解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。Ⅱでは、変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では?

Ⅰ ばねをL縮めたときのばねの位置エネルギー,箱がゴール地点にあるときの箱の速さvとして、箱の運動エネルギー
系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、

 ・・・①
ばねが行う単振動振幅L (自然長の位置は単振動の振動中心です)で、ばねの角振動数wとして、単振動の公式より、
①と比べて、
単振動の周期で、単振動の公式より、

......[]

Ⅱ Aについて、
加速度aとして、等加速度運動の公式より、

時刻tにおける速さは、
グラフは右図。
おける速さは、
......[]
Bについて、
に中間地点に至るとして、における加速度aは、

における速さは、
においては、この速さで等速度運動で距離進むので、

における速さは、
における速さは、
グラフは右図。
における速さは、
......[]
Cについて
に振動端にいて、に振動中心にくるので、箱の位置xは、


グラフは右図。
における速さは、
......[]

Ⅲ ABC3人が加える以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、
......[]
Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[]

Ⅳ Ⅲより、最初に最大の一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、の加え方です。
最大のをかけているとき、加速度として、
の間、最大のをかけるとして、における位置速さは、
において、速さで等速度運動して進む距離は、

整理して、

なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合のの加え方は、
において、
において、
グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[]


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  1. 2008/02/29(金) 12:03:17|
  2. 東大物理'08年
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