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早大理工数学'08年[5]

早大理工数学'08[5]

xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点Nをとる。またをみたすq に対し、次の2つの条件
(a)
(b)
をみたすS上の動点PQについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。
(1) Pと点Qz座標は等しいことを示せ。
(2) Pが平面上にあるとき、線分PQの長さをq hで表せ。
(3) Tを平面で切ったときの断面の概形を描き、その面積をq hで表せ。
(4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vq で表し、q を動かしたときのVの最大値を求めよ。

解答 hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。

(1) 原点をOとします。
NPOと△NQOにおいて、ON共通、より、△NPO≡△NQO
よって、PQからON (z)に下ろした垂線の足は一致します。この点をHHz座標をhとすると、PQz座標はともにhで等しくなります。
注.という場合もあるので注意してください。

(2) 三平方の定理より、
 ・・・① (の場合もこれで良い)
 (の場合もこれで良い)
PQの中点、即ち、HからPQに下ろした垂線の足をMとします。
......[] (の場合もこれで良い)

(3) PQが、球面Sと平面の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RHとの距離HRは、 ・・・② を満たします。
 ・・・③

 (半角の公式を参照)
 ・・・④
これと①より、不等式②の左辺と右辺のMHPHは、PQの位置に依存しません。
これより、Tの断面の概形は、半径の円と半径の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。

断面の面積は、④と(2)PMを利用して、
......[] (の場合もこれで良い)

(4) ④において、より、です。
 (定積分と体積を参照)


......[]
とおくと()
 (3次関数の最大最小を参照)

のとき、
t1
00
V

増減表より(関数の増減を参照)Vは、のとき、最大値: ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2008/02/22(金) 23:31:35|
  2. 早大理工数学'08年
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早大理工数学'08年[4]

早大理工数学'08[4]

n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率でどれか1つの箱に入れるものとする。のとき2箱のみが空となる確率をとする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の箱のそれぞれに1個の球が入る確率を求めよ。
(3) に対しを求めよ。
(4) (2)で求めたについて、を求めよ。

解答 2箱のみ空と言っても、3球入る箱が1箱できる場合と、2球入る箱が2箱できる場合とがあります。いきなりを求めろと言うのではなく、2つの場合に分けて考えることを促しているのが(2)なのですが、それを意識しないと、(3)は難しいかも知れません。なお、確率独立試行の確率を参照してください。

(1) のとき、3球を、3個の箱の中のある1箱に入れることになります。
3球を入れるのが3箱のどの箱かが3通り、全事象は、通り。
......[]

のとき、4球を、4個の箱のうちの2箱に入れることになります。(i) 2箱に2球ずつ入れる場合と、(ii) 1箱に3球、もう1箱に1球入れる場合、の、2通りあります。
(i)の場合、4箱から2箱を選ぶのが、通り、4球から2球を選ぶのが、通りで、通りあります(組合せを参照)
(ii)の場合、3球入る箱を4箱から1箱選ぶのが4通り、1球入る箱を残る3箱から1箱を選ぶのが3通り、4球から3球選ぶのが、通りで、通りあります。
全事象は、通り。
......[]
注.上記では、2箱をAB4球に1234の番号を付けるとして、
(i)では、箱を組合せで考えていて、
12を選んで、A12を入れてB34を入れる場合と、
34を選んで、B34を入れてA12を入れる場合を、
区別せずに1通りと考え、
(ii)では、3球入る箱と、1球入る箱を区別して考え、箱の選び方を順列として、通りと考えている点に注意してください。

(2) のときの(1)(ii)の場合から考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から3球を選ぶのが、通り、全事象は、通り。
......[]
注.3球を1箱に入れてしまった後、1箱に1球ずつ入れていくところを、上記では、3箱がABC3球が123だとして、A1B2C3が入る場合と、A2B3C1が入る場合(全部で6通りある)を区別するのに、箱を、ABCCAB,・・・と並べておいて、1箱に入れる3球選んだ残りの求を、自動的に123と一通りに並べ、場合の数を数えています。

(3) n個の箱とn個の球があるときに、のときの(1)(i)に相当する場合を考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から2個の球を2組選ぶのが、
通り
2重にカウントしている場合を考慮(下記の注.参照)して場合の数を2で割ります。
全事象は通り。
よって、2球入る箱が2箱で、残りの箱に1球ずつ入る確率は、
これと(2)と合わせたものがとなります。
......[]
注.箱の選び方を順列で考えてしまうと、2球入っている2箱で同一の場合ができます。つまり、箱をABと並べ、選んだ2球が12A12を入れてB34を入れる場合と、箱をBAと並べ、選んだ2球が34B34を入れてA12を入れる場合を二重に数える場合が出てくるので注意してください。上記では2で割っています。

(4) のとき、 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2008/02/22(金) 18:59:02|
  2. 早大理工数学'08年
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早大理工数学'08年[3]

早大理工数学'08[3]

はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
   
をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) に対して
   
が成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いてを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。

解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。

 ・・・①
(1) ①において、とすると、

(2) として、①の両辺を、 ()で割ります。
の代わりにxを代入すると、

(3) 題意よりが存在して、(1)よりなので、微分の定義を用いて、
また、より、

(4) 要は、が定数になることが言えれば良いのですが、①と微分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。
任意の実数xに対して、数列の各項()を、
とします。
(2)より、
(2)において、xの代わりに ()を代入すると、
よって、数学的帰納法により、,つまり、
ここで、とすると、
(3)より、


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  1. 2008/02/21(木) 16:24:20|
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早大理工数学'08年[2]

早大理工数学'08[2]

自然数mnに対して
   
で定める。以下の問に答えよ。
(1) をみたすmn1組求めよ。
(2) abcdは整数で、等式をみたすとする。不等式が成り立つならば、となることを示せ。
(3) 任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在することを示せ。

解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。

(1)
ここで、平方数:200から大きく異なると、が大きく、つまり、mnの差が大きくなり、mnのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数:がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。
このことに気づけず、機械的に小さい方、mn1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。mn1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、です。そこで、
つまり、
とすると、
となり、条件を満たすので、 ......[]

(2)  ・・・①
より、
問題文に与えられている条件:
 ・・・②
 ・・・③
②-③より、 (不等式の証明を参照)

②より、,つまり、です。また、③より、です。従って、 ()で各辺を割ると、
は整数なので、
①より、

(3) まず、任意の自然数kに対し、,つまり、
として、
となる整数が見つかったとします。
この2式を連立してmnについて解くと、
は連続2整数の積なので偶数であって、は整数です。従って、mnは整数です。ここで、であるためには、
でなければなりません。2番目の方の不等式は、kが整数であることから、
と同値で、結局、
 ・・・④
が満たされればよいことになります。従って、mnが少なくとも1組存在することを言うためには、④を満たすが存在することを言えばよいことになります。
④の左の不等号から、
 ・・・⑤
④の右の不等号から、
 ・・・⑥
かつ ⑥より、を自然数とすれば、
 ・・・⑦
この区間の幅は1なので⑦をみたす自然数は必ず存在します。
結局、証明のストーリーは以下のようになります。

任意の自然数kに対して、より、
 ・・・⑦
を満たす自然数が必ず存在します。
⑦の左の不等号より、
両辺を2乗して、

⑦の右の不等号より、
2乗して整理すると、
従って、任意の自然数kに対して、
を満たす自然数が必ず存在します。このとき、
とおけば、

を満たします。

次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数mnを持ってきたときに、
つまり、
とします。
とおくと、①を満たします。
mnは自然数なので、



全く同様にして、
よって、②,③も満たされるので、(2)より、
つまり、


よって、任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在します。


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  1. 2008/02/21(木) 16:23:33|
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早大理工数学'08年[1]

早大理工数学'08[1]

aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線と、直線とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。
(1) Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2) 直線を軸として、D1回転してできる図形の体積を求めよ。

解答 気力が必要な微積分の計算問題ですが、(1)は、Dの概形を捉えるのに凹凸まで考える必要があるので、陰関数で扱うよりも陽関数にしてしまう方がやり易いと思います(陰関数の微分法を参照)(2)は、定型問題ですが、正答するのはなかなか容易ではありません。ここでは、2通りの扱いでやってみたいと思います。但し、必ずしも、座標回転でラクになるとも言えません(極形式を参照)

(1) 曲線: ・・・①
は、より、を定義域とします。また、①は、
直線: ・・・②
とは、を共有します。①より、
 ・・・③
 ()
よって、①のyは単調減少です(関数の増減を参照)
 ()
よって、①のグラフは下に凸です(ということは、において、①の方が②の下に来る。関数の凹凸を参照)
Dの概形は、右図で黄緑色で着色された部分。

②は、と変形できるので、Dの面積Sは、
 (定積分と面積を参照)

......[]

(2) 右上図において、曲線①上の点Qから直線②に下ろした垂線の足をR,点Pから直線②に沿い右下に向かってu軸をとり、とします。
このとき、点Rの存在範囲:を考えて、Dを直線②を軸として回転させてできる図形の体積Vは、
 ・・・④ (斜回転体を参照)
と表されます。点Qと直線:との距離を考えることにより、
 ・・・⑤ (点と直線の距離を参照)
また、点Qを通って、直線②に垂直な直線は(2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・⑥
②と⑥を連立することにより、交点Rx座標は、

はこのx座標の倍で、 ・・・⑦

uのとき、t
よって、④は、⑦の置換により(置換積分を参照)、⑤を用いて、



......[]
(uの積分のままでもできますが、上端がとなってがつく分だけ若干面倒です)

別解 面積と回転体の体積を座標回転でやってみます(極形式を参照)
複素数を時計回り(負方向)回転して、になるとすると、
 ・・・⑧
③に代入すると、

2乗すると、

従って、曲線①を反時計回り(正方向)回転すると、放物線:
 ・・・⑨
となります。
⑧を②に代入すると、

従って、直線②を反時計回りに回転すると、直線:となります。
⑨と連立すると、

(1)の面積Sは、
......[] (定積分の公式を参照)
(2)の体積Vは、
......[]
 です。
曲線と直線の式を変換する必要がありますが、積分計算はラクになります。


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  1. 2008/02/19(火) 22:47:58|
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