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センター数学IA'08年第3問

 センター数学IA '08年第3問 

ABCにおいて、とする。
また、△
ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、
であり、外接円Oの半径はである。
外接円
O上の点Aを含まない弧BC上に点Dであるようにとる。であるから、とするとx2次方程式
   
を満たす。であるからとなる。
下の
には、次ののうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

AC  AD  AE  BA  CD  ED

Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、であるから、△ACEと△は相似である。
これより、
   
である。また、である。したがって
   
であり、△ACEの面積はである。

解答 △ABCにおいて、余弦定理より、
() 5 ......[]
外接円の半径をRとして、正弦定理より、

() 5 () 2 () 2 ......[]
同一弧の上に立つ円周角は等しいから、
(オカ) 45 ......[]
とすると、△ADCにおいて、余弦定理より、
整理して、
() 2 () 5 (ケコ) 15 ......[]
これを解き、を考慮して、
() 3 ()5 ......[]
接弦角の定理より、 ・・・①
()  ......[]
ACEと△DAEは、が共通で、①より、2角が等しくなるから相似です。
()  ......[]
ECEACAAD5
より、
 ・・・②
() 3 () 5 () 5 ......[]
また、方べきの定理より、 ・・・③
()  ......[]
②より、
これと、とを③に代入して、
両辺をEAで割り、

(テト) 15 () 4 () 2 ......[]
ACEの面積は、
 (三角形の面積を参照)
(ヌネ) 75 () 8 ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/01/21(月) 22:55:55|
  2. センター数学'08年
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センター数学IA'08年第2問

 センター数学IA '08年第2問 

abを定数とし、とする。2次関数
   
 ・・・①
のグラフが点
を通るとする。
このとき、
   
であり、グラフの原点の座標をaを用いて表すと
   
である。
さらに、
2次関数①のグラフの頂点のy座標がであるとする。
このとき、
a
   
を満たす。これより、aの値は
   
である。
以下、
であるとする。
このとき、
2次関数①のグラフの頂点のx座標はであり、①のグラフとx軸の2交点のx座標はである。
ただし、
は解答の順序を問わない。
また、関数①は
において
のとき、最小値をとり
のとき、最大値をとる。

解答 2次関数①が点を通ることから、

 ・・・②
() 2 ......[]
①右辺を平方完成して、
②を代入して、
よって、グラフの頂点の座標は、
() 2 () 2 () 3 () 2 () 4 ......[]
頂点のy座標がだから、
分母を払って整理すると、
() 9 (クケ) 20 () 4 ......[]

() 2 () 2 () 9 ......[]
のとき、頂点のx座標は、
() 4 ......[]
①は、
x軸との交点のx座標は、として、

()() 17 (順不同) ......[]
①の平方完成は、
となり、右図より、関数①は、において、
のとき、最小値をとり、
のとき、最大値をとる(2次関数の最大・最小を参照)
() 4 (ツテ)  () 9 (ナニ) 32 () 9 ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 22:55:04|
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センター数学IA'08年第1問

 センター数学IA '08年第1問 

[1] 長方形ABCDにおいて、とする。辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CD上に点R
   
となるようにとり、とおく()。このとき、台形PBCRの面積はである。また、△PQRの面積S
   
である。となるxの範囲は
   
である。

解答 上底:,下底:,高さ:12より、台形PBCRの面積は、
() 4 () 8 ......[]
BPQの面積:,△QCRの面積:より、△PQRの面積Sは、
() 1 () 0 () 4 () 8 ......[]
より、

() 4 () 6 ......[]


[2] 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

自然数mnについて、条件pqrを次のように定める。

p2で割り切れる
qn4で割り切れる
rm2で割り切れ、かつn4で割り切れる

また、条件pの否定を,条件rの否定をで表す。このとき

prであるための
であるための
pかつq」はrであるための
pまたはq」はrであるための

 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない

解答 この程度の設定であれば、「必要条件」、「十分条件」、「かつ」、「または」、「否定」(条件・命題を参照)が理解できている方は、反例がすぐに浮かぶかどうかで、カンで答えてしまっても構わないと思います。
以下、
ijmnを整数とします。

p rは、という反例があるから不成立。
r pは、のとき、2で割り切れるから成立。よって、prであるための必要条件だが十分条件でない。
()  ......[]
ということは、対偶を考えて、は成立、は不成立。よって、であるための十分条件だが必要条件でない。
()  ......[]
pかつq」⇒ rは、,かつ、として、だから、m2で割り切れ、かつn4で割り切れるので成立。
r ⇒「pかつq」は、のとき、2で割り切れ、かつ、n4で割り切れるから成立。よって、「pかつq」はrであるための必要十分条件。
()  ......[]
pまたはq」⇒ rは、pが偽でqのみ真のとき、という反例があるから不成立。
r ⇒「pまたはq」は、r ⇒「pかつq」が成立するから、成立(注.「pかつq」⇒「pまたはq」は必ず真)。よって、「pまたはq」はrであるための必要条件だが十分条件でない。
()  ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 13:15:56|
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