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共振回路

共振回路

回路に交流電圧を加えるとき、特定の周波数の交流について、大きな振幅の電流が流れる現象を共振と言う。
RLC直列回路の場合、共振周波数fは、
で与えられる。

ここでは、右図のような、抵抗Rと、自己インダクタンスLコイル(自己誘導を参照)と、静電容量Cコンデンサーを直列に接続し、起電力の交流電源に接続するRLC直列回路を考えます。
RLCによる合成インピーダンスZは、
 ・・・①
交流電圧と、回路を流れる交流電流の間には、
 ・・・②
という関係があります(インピーダンスを参照)
ここで、
RLC電圧の最大値を変化させずに、角周波数だけを変化させて、電流の振幅を最大にすることを考えます。このためには、②より、合成インピーダンスZを最小にすればよいのですが、①より、
 ・・・③
のときに、Z最小となります。このとき、

(とします。共振角周波数と言います)
これより、共振周波数fは、
となります。
共振が起きているとき、③より、
です。

AMラジオを聴いていると、聴きたい放送に混じって、別の外国語の放送が重なって聞こえてしまうことがあります。
共振回路が、ただ
1つの周波数だけにだけ共振すればよいのですが、右図のように、共振周波数のところで電流の振幅が最大であっても、共振周波数と異なる周波数に対しても大きな電流振幅となってしまうのです。
従って、混信しない良い
AMラジオにするためには、右図の山の幅を狭めて山を急峻にする必要があります。この山の幅を評価するパラメータに、Q値と呼ばれる量があります。
Q値は、電流の振幅が、共振しているとき()電流の振幅,となる角周波数 ()として、で与えられます。山の幅が狭くなると、が小さくなるのでQ値が大きくなります。Q値の大きなAMラジオが良いラジオです。
のときのになるということは、合成インピーダンスZのときの値R倍になるということです。つまり、
が成り立つので、
となり、wに関する2つの2次方程式
の正数の解
(とします)(とします)
より、Q値は、
となります。できるだけRCを小さく、Lを大きくすることがラジオの性能を向上させることになります。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/02/09(土) 22:13:58|
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RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い

RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い

右図のようなRLC直列回路、つまり、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLコイル静電容量Cコンデンサーを直列に接続した回路を、線形2階微分方程式で取り扱って見ます。
ここでは、
RLCはいずれも正数値をとりゼロではないとします。
抵抗、コイル、コンデンサーにおける
電圧降下は、なので、キルヒホッフ第2法則より、これらの総和を交流電源の起電力Vに等しいとおいて、
より、両辺を時間tで微分すると、
 ・・・①
のとき、①に、を代入すると、


但し、
これより、,つまり、として、
①の解は、
で与えられます。

ここで、①式の
電圧と電流を極形式で、
 (オイラーの公式:については、マクローリン展開を参照)
としてみます。
これを①に代入して、
両辺をで割って、
これより、として、
両辺の絶対値について、
両辺の偏角について、
RLC直列回路を見ただけですが、これが、複素インピーダンスZを考える理由です。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
  1. 2008/02/08(金) 19:29:37|
  2. 電磁気分野
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インピーダンス

インピーダンス

抵抗Rと、自己インダクタンスLコイルと、静電容量Cコンデンサーが直列に接続された回路に、角周波数w交流を流すときのインピーダンスZは、
このときの、電流電圧位相のずれdは、電圧の方がdだけ進んでいるとして、

右図のように、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路をRLC直列回路と言います。
直列接続なので回路を流れる
電流Iは共通です。この電流を、だとします。
抵抗両端の
電圧は、オームの法則より、
コイル両端の電圧は、
コンデンサー両端の電圧として、公式:より、
とおくと、
よって、
 (容量リアクタンスを参照)
これより、交流電源の電圧Vは、


 (三角関数の合成を参照)
とおくと、dは、を満たす角。
これより、
電圧Vの実効値は、電流の実効値をとして、
と表され、オームの法則のような関係が成立します。Z抵抗のような役割をするのですが、これを、RLC回路のインピーダンスと言います。また、d電圧電流位相のずれと言い、
を満たします。

実は、
複素インピーダンスという便利な考え方があります(詳細は、RLC回路の線形2階微分方程式での取扱いを参照)
回路を流れる
電流複素数として考え、
として、という複素数をかけると、

として、電流電圧の実部、虚部を比べることにより、電流電圧の関係を調べることができます。複素インピーダンスと言います。
複素インピーダンスの良いところは、複素インピーダンスを直流におけるオームの法則における抵抗と全く同じようにして、交流を扱えるところにあります。
抵抗R複素インピーダンスRのままです。
自己インダクタンスLのコイルの複素インピーダンスは、です。
静電容量Cのコンデンサーの複素インピーダンスは、です。
は、RLCインピーダンスを、抵抗直列接続のように、3つ加え合わせた合成インピーダンスになっています。

複素数の電流複素インピーダンスをかけて電圧を求めるということは、右図のように、複素数平面上で、電流を回転・拡大縮小したものが電圧になるということ(極形式を参照)を意味していて、高校物理で言うインピーダンスは、回転縮小の比率を、電圧が電流より進んでいるとしたときの位相のずれdは、複素インピーダンスの偏角を表しています。

RLC並列回路であれば、合成インピーダンスとして、
として、抵抗並列接続のように合成インピーダンスを求めることができます。
虚数単位
'i'と書くと、電流を示す'i'と勘違いしやすいので、電気回路の本では、虚数単位を文字'j'で表すことがあります。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/02/08(金) 19:28:49|
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誘導リアクタンス

誘導リアクタンス

コイル交流電源に接続すると、電圧位相電流の位相よりもだけ進む。
コイルの
電圧電流実効値について、
が成立し、誘導リアクタンスと言う。

交流電源に自己インダクタンスLのコイルを接続した回路を考えます。
回路を流れる
電流とすると、公式:より、コイルに生じる逆起電力は、
コイル両端の電圧降下V逆起電力と符号を逆転させて、
コイル両端の電圧Vと、電流Iの関係を右図に示します。
右図を見ると、
電圧の正弦波を時間軸の正の方向(過去に戻る方向) (位相で言えば)平行移動したものと電流の正弦波とで、位相がそろうことが分かります。
コイルでは、
電流電圧の位相がずれていて、電圧の位相が電流の位相よりもだけ進んでいます。逆に言うと、電流の位相は電圧の位相よりもだけ遅れています。この事実は非常に覚えにくいので、公式: (自己誘導を参照)から、電流電圧の位相の関係を考えるようにしてください。

電流の実効値は、
電圧の実効値は、
これより、コイルの電圧電流の実効値について、オームの法則と類似した関係:
があり、交流において、抵抗のような働きをしていることがわかります。この誘導リアクタンスと言います。誘導リアクタンスの単位は抵抗と同じくです。
但し、オームの法則と違って、瞬間値については、
という関係は成り立たないので注意してください。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/02/06(水) 12:48:59|
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容量リアクタンス

容量リアクタンス

コンデンサー交流電源に接続すると、電流位相電圧の位相よりもだけ進む。
コンデンサーの
電圧電流実効値について、
が成立し、容量リアクタンスと言う。

交流電源に静電容量Cのコンデンサーを接続した回路を考えます。
交流電源の
電圧とすると、公式: (コンデンサーを参照)より、コンデンサーの極板が蓄えている電気量Qは、
 ・・・①
この極板に流れ込む電流Iは、
 (電流モデルを参照) ・・・②
コンデンサー両端の電圧Vと、電流Iの関係を右図に示します。
右図を見ると、
電圧の正弦波を時間軸の負の方向(過去に戻る方向) (位相で言えば)平行移動したものと電流の正弦波とで、位相がそろうことが分かります。
コンデンサーでは、
電流電圧の位相がずれていて、電流の位相が電圧の位相よりもだけ進んでいます。逆に言うと、電圧の位相は電流の位相よりもだけ遅れています。
「進む」と言うのは、変化が早く起こる、という意味で、「遅れる」というのは、変化が遅くなってから起こる、という意味です。この事実は非常に覚えにくいので、①式を微分して②式を得るところから、
電流電圧の位相の関係を考えるようにしてください。

電圧の実効値は、
電流の実効値は、
これより、コンデンサーの電圧電流の実効値について、オームの法則と類似した関係:
があり、交流において、抵抗のような働きをしていることがわかります。この容量リアクタンスと言います。容量リアクタンスの単位は抵抗と同じくです。
但し、オームの法則と違って、瞬間値については、
という関係は成り立たないので注意してください。


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  1. 2008/02/06(水) 12:48:03|
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