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早大理工数学'07年[5]

早大理工数学'07[5]

xy平面において、点を中心とする半径5の円をC,点を中心とする半径4の円をDとする。CDの共通接線のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものを,傾きが負であるものをとし、CDが同じ側にあり傾きが正であるものをmとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 直線mの方程式を求めよ。
(3) 三直線mのすべてに接しCDと異なる円をEとする。二円Eの中心のx座標を求めよ。
(4) (3)の円Eの半径を求めよ。

解答 (1)(2)は相似を考えて図形的に処理する方がラクですが、ここではオーソドックスにやってみます。

CDの共通接線の方程式を ・・・① とおきます。
題意より、①と
との距離が5なので(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・②
①ととの距離が4なので、
 ・・・③
②,③より、を消去して、絶対値を外すと、
 ・・・④

④の複号のプラスをとると、
 ・・・⑤
②より、
整理すると、
2乗して、

これと⑤を①に代入し、aで割る(なら直線を表さない)と、
 ・・・⑥

④の複号のマイナスをとると、 ・・・⑦
②より、
5で割り2乗すると、

これと⑦を①に代入し、aで割ると、
 ・・・⑧

(1) ⑥,⑧のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものは、
......[]

(2) ⑥,⑧のうち、CDが同じ側にあり傾きが正であるものは、
m ......[]

(3)
を共通接線とする円の中心は、なす角の2等分線上に来ます。つまり、円Eの中心はy軸上にあるので、そのx座標は0 ......[]

(4) Eの半径をr,中心のy座標をdとする(題意より、)と、との距離がrなので、
() ・・・⑨
mとの距離がrなので、
分母を払い、⑨を代入して、
で割り、絶対値を外すと、
......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2007/09/12(水) 17:53:58|
  2. 早大理工数学'07年
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早大理工数学'07年[4]

早大理工数学'07[4]

nを正の整数とするとき、以下の問に答えよ。
(1) kを正の整数とする。関数における最大値をとするとき、およびを求めよ。
(2) において定められた連続関数とする。関数における最大値をそれぞれとする。このとき0の大小を
         
の形式で答え、その理由をのべよ。
(3) を定数、とし、関数における最大値をとする。このときを求めよ。

解答 こういう問題は難問に見えてしまうのですが、難問だと思ってしまうと難問です。

(1)

とすると、においては、 ()
のとき、
x0 1
0
y00

増減表より、 ......[]
また、 ( )
......[]

(2) において、関数が、それぞれ、 ()において、最大になるとすると、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②より、
 ・・・④
③の不等号の等号は、のときに成立します。
④の不等号の等号は、であれば、のときに成立しますが、それ以外の場合には、必ずしも成立するとは限ないことに注意してください。
④左辺で、のときを考えると、
 ・・・⑤
また、関数は、のときに、関数値0をとります。従って、その最大値 ・・・⑥
⑤,⑥より、 ......[]

(3) 関数における最大値をとすると、より、関数における最大値は、です。
また、において、より、 ()
関数における最大値は、のとき、rです。
関数における最大値について、(2)の結果より、
 ・・・⑦
において、より、関数:
における最大値は、関数の最大値r以上であって、
 ・・・⑧
⑦,⑧より、
(1)より、のとき、より、
よって、はさみうちの原理より、 ......[]


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  1. 2007/09/10(月) 14:11:11|
  2. 早大理工数学'07年
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早大理工数学'07年[3]

早大理工数学'07[3]

曲線で囲まれた図形のうち、をみたす部分の面積をとする()。以下の問に答えよ。
(1) をみたす定数pqを求めよ。ただし、Cは積分定数である。
(2) の値を求めよ。
(3) の値を求めよ。
(4) を求めよ。

解答 少々アレンジしてありますが、早大理工でも頻出の問題です。(1)がついているのは、部分積分させると、受験生が全滅状態になることを恐れてなのでしょうか?
面倒そうに見えますが、
等比数列です。

(1) の両辺をxで微分する(積の微分法微分の公式を参照)と、

で両辺を割って整理すると、
 ・・・①

ここで、ABを定数として、
 (三角関数の合成を参照)
ただし、d は、をみたす角。
これが、任意の実数xについて成り立つために、,つまり、であることが必要十分です。

従って、①が任意の実数xについて成り立つために、

......[]
これより、 ・・・②

(2) より、②を用いて、

ここで、
 ・・・③



 ・・・④

......[]

(3)
ここで、

について、とおくと、xのとき、t (置換積分減衰振動関数を参照)

さらに、であることに注意すると、
において、
において、
より、

 ( )
 ( ) ・・・⑤
......[]

(4) ⑤より、は、初項,公比の等比数列。
より、無限等比級数は、収束して和をもつので、
......[]


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  1. 2007/09/10(月) 14:10:16|
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早大理工数学'07年[2]

早大理工数学'07[2]

定数cに対して行列A
で定め、直線上の動点PAによって移動した点をQとする。すなわち、
に対応する点をQとする。定点Rとすべてのtの値に対して、Pを直角の頂点とする直角三角形となるという。以下の問に答えよ。
(1) 定点Rの座標および定数cの値を求めよ。
(2) 三角形PQRの外接円の面積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

解答 いろいろな解法が考えられますが、直線の傾きを考える(直線の方程式を参照)と場合分けが必要で面倒です。ここでは内積を考えることにします。
問題文が行列を使って書かれていますが、
行列の積の計算をするだけで、行列が本質的な問題ではありません。

見易くするために、ベクトル
を縦ベクトルで書きます。
(1) Qの位置ベクトルは、
Pを直角の頂点とする直角三角形となることから、,つまり、 (内積を参照)
Rとして、


これがすべてのtの値に対して成立するために、
 (恒等式を参照)
......[]
定点Rの座標は、 ......[]
このとき、です。

(2) Pを直角の頂点とする直角三角形であることから、直角三角形の直径はQR,半径は,外接円の面積は、になります。

 (2次関数の最大・最小を参照)
これは、のときに、最大値 ......[] をとります。


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  1. 2007/09/08(土) 08:13:03|
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早大理工数学'07年[1]

早大理工数学'07[1]

複素数ab ()に対して、を初項とする数列
 ()
で定める。以下の問に答えよ。
(1) のどちらかが成立することを示せ。
(2) 数列がさらに次の条件をみたすとする。
() 隣接する2項の積はすべて0となる。すなわち
 ()
このときab およびの値を求めよ。

解答 こういう問題の鉄則は、「必要条件から考える」(条件・命題を参照)、もっと、平たく言えば、「考え易いところから考える」ということです。
数列が題材になっていますが、数列としての要素はありません。

(1) だとします。です。

 ( )
よって、のどちらかが成立します。

(2) 一般項のままで考えていくのはきついです。こういうときは、すべての自然数nについて成り立つのだから、まず、のときはどうか、のときはどうか、という発想をします。具体的に簡単な数をあてはめて感じをつかむ、というように、言ってもよいし、考え易いところから手がかりを探っていく、というように、言っても良いし、固い言葉で、「必要条件から考える」と決めておくのも良いと思います。

のときは、になります。
のときは、ですが、なので、,つまり、 ・・・① です。
なので、(1)より、です。ということは、なので、
です。
 ・・・②
①,②より、ab は、x2次方程式
 (この方程式を見て、「13乗根」がテーマだと気づきたい)
2(解と係数の関係を参照)であって、より、
 ・・・③
(この時点では、まだ、条件()の場合しか確認していない、つまり、③はこの問題の必要条件にしかなっていない、ので解答にしてはいけません)

面倒なので、とおきます。であり、,また、
より、です。
wを用いて、
なので、n3で割った余りで場合分けします。
(i) ()のとき、
 ( より、)
(ii) ()のとき、
(iii) ()のとき、

このとき、 ()が成り立ちます。
これで③を解答にして良いこと、つまり、③がこの問題の十分条件にもなっていること、が確認されました。

......[]
......[]

蛇足 この問題のように、問題文が想定している全ての場合を考えないで、ある特殊な例だけ考えて行くときには、出てきた解答らしきもの(必要条件)が、本当に全ての場合について与えられた条件を満たすのかを確認(十分条件を確認)しなければいけません。
また、与えられた条件を満たす答(十分条件)がすぐに浮かぶような場合には、ほかにも条件を満たす答があるのではないかと疑わなければいけません。ほかには答がないこと(必要条件)が確認できて初めて解答にできるのです。


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  1. 2007/09/07(金) 10:22:05|
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