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長崎大医数学'09年[4]

長崎大医数学'09[4]

すべての正の実数xに対して定義された連続関数は次の(a)(b)を満たすものとする。
(a) すべての正の実数xyに対して
(b) すべての自然数nに対して
この関数について、次の問いに答えよ。
(1) xを正の実数とするとき、次の値を求めよ。
(2) aを満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。
(3) abを満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。
(4) abを満たす実数でも(3)の不等式が成り立つことを用いて、正の実数xyに対して、次の不等式を証明せよ。

解答 問題文の関数は、条件(a)(b)から、対数関数のような関数を想定して考えます。(1)なら、だろうということになります。
(4)の不等式は、のグラフが上に凸な曲線であることを意味しています。この形のまま強行せずに、(3)を利用せよ、という問題文の指定に従って、変形してから示すようにします(不等式の証明を参照)

(1) (a)において、とすると、
また、(a)において、とすると、
 ・・・①
......[]

(2) aを満たす有理数のとき、となる自然数pqが存在します。
(1)の結果において、とすることにより、
(b)を繰り返し用いることにより、
 (ならですが)
 (証明終)

(3) より、
(2)の結果より、有理数について、
(1)の結果より、
 (証明終)

(4) (3)が使える形に変形します。


 ( (1))
となるので、
 ・・・②
を示すことにします。
xyは正の実数なので、相加平均相乗平均の関係より、
 (等号はのときに成立)
のとき、となり②の等号が成立します。
のとき、より、(3)の結果において、とすることにより、
以上より、②が成立し、
 (証明終)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/11(月) 05:51:47|
  2. 09年数学
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