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奈良県立医大数学'09年[4]

奈良県立医大数学'09[4]

(1) 任意の正整数nに対して関数で定義されているものとする。このとき、
が成り立つかどうか調べよ。
(2) 各正整数nに対して、q の範囲を動くときの関数の最大値をとおく。このとき、極限値を求めよ。
ただし、aの範囲にある定数とするとき、であることは証明なしに用いてよい。

解答 (1)は、記号と記号が交換可能かどうかという問題です。
(2)は、(1)の被積分関数の最大値が、のときの定数倍に近づくように変化することを意味しています。

(1)
とおくと、qのとき、t (置換積分を参照)
のとき、 (数列の極限を参照)
のときより、のとき
以上より、
よって、は成り立ちません。 ......[]



とすると、においては、
()
各正整数nに対して、これを満たすq がただ1つ存在し、それをaとすると、

0


0
0

増減表(関数の増減を参照)より、は、において最大値をとります。
のとき、より(極限の公式を参照)
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/12/31(木) 13:12:18|
  2. 09年数学
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