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慶大医数学'09年[2]

慶大医数学'09[2]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
abを正の定数、mを実数、kを負の実数とする。xy平面上の楕円Cと直線lが異なる2PQで交わるための必要十分条件はであり、このとき、である。さらに、点PQを固定して点Rを楕円C上で動かすときのの面積の最大値をAとするとである。次に、mを固定してkを動かすとき、Aが最大となるkの値はであり、その最大値はである。

解答 下手な計算をすればいくらでも面倒になってしまいます。工夫を心がけましょう。

楕円C ・・・①
直線
l ・・・②
①,②を連立すると、
分母を払って、

 ・・・③
③の判別式Dとして、

 ・・・④
l2PQで交わるための必要十分条件は、より、
より、 ・・・⑤
() ......[]
以後、がしつこく計算に出てくるので、これを、
とおきます。判別式はとなります。
③の
2解をab ()とすると、2解の差は、
PQSとすると、直角三角形PQSにおいて三平方の定理より、
PSQSPQ = 1
④とより、

 ・・・⑥
() ......[]
より、の面積が最大になるのは、Rが、傾きmの直線と楕円との2つの接点のうちにある方の接点に来たときです。
④において、の場合も含めてのとき、

接点がの部分にあるのは、のときで、このとき、2次方程式③は、重解:
をもちます。これがの面積を最大とするRx座標になります。②を用いて、この点のy座標は、
と直線l ()との距離dの面積が最大のときの高さ(底辺はPQ)になります。
 (点と直線の距離を参照。に注意)
() ......[]
の面積の最大値Aは、⑥と()の結果を用いて、
とおくと、

⑤より、pの範囲で動きます。
k

0

0



増減表より、Aを最大とするkの値は、
() ......[]
A
の最大値は、
() ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/12/21(月) 19:51:07|
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