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九大理系数学'09年前期[2]

九大理系数学'09年前期[2]

k2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と書かれたカードが2枚、・・・、「k」と書かれたカードがk枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM,奇数が書かれたカードの枚数をNで表す。この枚のカードをよくきって1枚を取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作をn回繰り返す。記録されたn個の数の和が偶数となる確率をとする。次の問いに答えよ。
(1) MNで表せ。
(2) MNで表せ。
(3) kで表せ。
(4) nkで表せ。

解答 MNkの偶奇で分かれますが、nに依存するわけではないので、標準的な2項間漸化式の問題です。

(1) 1回の操作で偶数を引く確率,奇数を引く確率はです。よって、
......[]
2回の操作で記録されたn個の数の和が偶数となるのは、1回目も2回目も偶数であるときと1回目も2回目も奇数であるときで、
......[] (和事象・積事象・余事象を参照)

(2) 回目までの操作で個の数の和が偶数となるのは、n回目までの操作でn個の数の和が偶数(確率)であって回目の操作で偶数のカードを取り出すときと、n回目までの操作でn個の数の和が奇数(確率)であって回目の操作で奇数のカードを取り出すときで、
......[] ・・・①

(3)kが奇数のとき、
 (等差数列を参照)

......[
]
kが偶数のとき、


......[]

(4) ①において、aに置き換えて、
 ・・・②
これを解いて、
①-②より、
これより、は、初項,公比
等比数列です。

(3)
の結果より、
kが奇数のとき、 ......[]
k
が偶数のとき、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/12/13(日) 23:43:53|
  2. 09年数学
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