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大阪府立大工数学'09年[3]

大阪府立大工数学'09[3]

Oを原点とする座標空間の4ABCDの位置ベクトルをそれぞれとする。また、2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルをとし、2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルをとする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの位置ベクトルは、
 (abgは定数)
であるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) を成分表示せよ。
(2) 実数stuに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトルは、
 (stは実数)
であるとする。実数stを動かすとき、の最大値はであることを示せ。この最小値を点Pと平面OABとの距離という。ただし、平面OABとは3OABを通る平面である。
(4) Pと平面OABとの距離を内積を用いて表せ。
(5) の成分表示をとする。点Pと平面OCDとの距離が点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をlmnを用いて表せ。
((1)については計算の過程を記入しなくてもよい)

解答 平面との距離を考えようという問題です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1)については、計算過程は不要、とのことなので、外積を用いた受験技巧で結果を出してしまうのが良いと思います。外積は物理でも使う(ローレンツ力を参照)ので、高校範囲外と言っても、知っていて損になることはありません。

(1)  (外積を参照、外積の双方に垂直です)
よって、 ......[]

よって、 ......[]

(2) は、の両方に垂直なので、 ・・・①
①とより、

(3)

 ( (2))
実数stを動かすとき、これは、かつのときに最小値をとります。つまり、の最小値はです。

(4) Pと平面OABの距離は(3)よりです。
①より、
つまり、点Pと平面OABの距離は、 ......[]

(5) (4)を用いて、点Pと平面OABとの距離は、
Pと平面OCDとの距離は
両者が等しくなることから、

または ......[]

追記.本問によると、①より、平面OABの方程式を、
つまり、,平面OAB上の点をとして、
と表すことができます。は、平面OABの大きさ1の法線ベクトルです。
Pと平面OABとの距離は、
で与えられます。なお、点と平面の距離を参照してください。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/12/12(土) 22:01:50|
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