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阪大理系数学'09年前期[4]

阪大理系数学'09年前期[4]

平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
とおき、点Pであるようにとる。直線OPAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。
(1) は平行であることを示せ。
(2) であることを示せ。

解答 は単位ベクトルです。
ちょっと見た目では方針を立てにくそうですが、平面ベクトルの基本に忠実に、を、

と、1次独立な2個のベクトル1次結合の形に表すことにより解決できます。

Qは直線OP上の点なので、qを実数として、
と表すことができます。より、

 ・・・①
また、1次独立、つまり、1次独立なので、stを実数として、
 ・・・②
と表すことができます。
注.とするのでは遠回りになります。点
Pには意味がないことに注意してください。
①より、


より、
のなす角をq としてより、
 ・・・③
です。従って、
これより、
 ・・・④
と表せます。とおくと、と表せます。より、ですが、


とすると、となってしまうので、です。また、③より、

④より、

これより、は平行で、
これで、(1)(2)が示せました。

別解.平面幾何で考える方が容易かも知れません。

(1) とすると、より、

なので、という条件より、
よって、
より、
つまり、の二等分線と直線
OPは垂直です。題意より、なので、Aを通りOPに平行な直線との二等分線との交点をRとすると、四角形OQARは長方形です。
長方形
OQARの対角線OAQRの交点をSとすると、SOAQRの中点で、
である二等辺三角形であることから、
ORの二等分線であることから、
よって、より
これより、
QROAの中点Sを通るのでABの中点Mも通ります。


(2) Aを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点をTMを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点Uとすると、MABの中点なので、UBTの中点です。
ORの二等分線であることとであることから、である二等辺三角形です。
と、四辺形OQMUが平行四辺形であることから、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/25(水) 12:33:24|
  2. 09年数学
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