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横国大工数学'09年後期[5]

横国大工数学'09年後期[5]

で定義された関数
を考える。ただし、aは定数である。次の問いに答えよ。
(1) のとき、は増加関数であることを示せ。
(2) のとき、は減少関数であることを示せ。

解答 何の変哲もない微積の計算問題に見えるのですが、(2)が意外に厄介です。

 ()
対数微分法により微分します。
 (微分の公式を参照)

 ・・・①
どうでもいいように見えますが、(2)をにらんで、微分しやすいように、分子をできるだけ簡単な形にしておくのが、この問題のポイントです。

(1) のとき、
(とおきます)
 ・・・②
において、なので単調減少です。また、は連続な関数です。
のとき、 
(関数の極限を参照)
よって、においてです。
のとき、 ・・・③
よって、,従って、は増加関数です。

(2) ①より、 (とおきます)
②を用いて、


より、分子各項の係数は正または0なので、において分子は正です。よって、なので、において、は単調増加です。また、は連続な関数です。
のとき、より
よって、のとき、です。
③より、,従って、は減少関数です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/23(月) 14:41:02|
  2. 09年数学
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