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明大理工数学'09年[4]

明大理工数学'09[4]

abは実数で、とする。xy平面上の点から曲線に接線を引くことができるための条件を求めたい。
(1) 曲線上の点における接線の傾きとy切片を求めよ。
(2) とおく。
(a) 関数の増減を調べ、極値を求めよ。
(b) のとり得る値の範囲を求めよ。必要ならば、を用いてよい。
(3) から曲線に接線を引くことができるための条件をabを用いた式で表せ。

解答 ノーヒントだと厳しい問題ですが、誘導通りに進めば手が止まることはないと思います。

(1)  (合成関数の微分法を参照)
における接線の傾きは、 ......[]
における接線の方程式は、
 ・・・①
このy切片は、 ......[]

(2)(a)
(複号同順)
のとき、関数の増減は以下の表の通り(関数の増減を参照)
t


a
000

増減表より、のとき極大値のとき極小値のとき極大値 ......[]
(b) 関数のグラフは、を考慮して右図のようになります。グラフより、の範囲は、より、
......[]

(3) 接線①が点を通るとき、
 ・・・②
これをtに関する方程式と見ると、この方程式が解をもつときに点を通る接線を引くことができます。
この右辺は
tを実数とするとき関数で、そのとり得る値は(2)(b)で求めた通りなので、のとき、方程式②が解をもつ、つまり、点から曲線に接線を引くことができるための条件は(微分法の方程式への応用を参照)
......[]
追記.2回微分すると、
これより、曲線は、のところに変曲点があるのですが、変曲点における接線は、
(3)の結果は、
(i) のとき、に接線が引けるのは、直線から上で直線から下の領域内の点からである。
ということを意味しています。同様に、
(ii) のとき、直線から上で直線から下の領域内の点からに接線を引くことができます。
(iii) においては、で最小値をとるようになり、
曲線から上で直線から下の領域内の点からに接線を引くことができます。
結局、曲線(黒色実線)に接線を引くことができる点は右図水色着色部(境界線を含む)です。青色細線は直線(変曲点における接線)です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/17(火) 03:04:37|
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