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横浜国大経済数学'09年[2]

横浜国大経済数学'09[2]

数列と関係式
 
で定める。次の問いに答えよ。
(1) nの式で表せ。
(2) 7で割り切れることを示し、7で割り切れるためのnの条件を求めよ。

解答 (1)があるので、(2)でもの一般項を求めたくなりますが、(1)を解答せずとも(2)だけで単独で解答することも可能です。
なお、
(1)については、漸化式の技巧を参照してください。

(1) は、初項:24,公比:8等比数列なので、
与えられた漸化式の第2式に代入して、
両辺をで割り、
 ・・・① とおくと、
 ・・・②
 ・・・③
③を解いて、
②-③より、
これより、は、初項:,公比:の等比数列なので、
①より、
......[]

(2) 与えられた漸化式の第1式で項番号を1ずらすことにより、
 ・・・④
さらに項番号を1ずらせて、
 ・・・⑤
のとき、は整数であって、
のとき、が整数であれば、与えられた漸化式より、も整数で、

数学的帰納法により、すべての自然数nについて、は整数です。
よって、⑤式のも整数であり、
7の倍数です。 ・・・()
与えられた漸化式の第1式でとして、
④でとして、
これらのことから、
m1以上の整数として、のときには7で割り切れず、のときに7で割り切れると予測できます。
のとき、のときには
()7で割り切れず、のときには()7で割り切れるので、予測は成立します。
のとき、予測が成立すると仮定すると、
7で割り切れず、7で割り切れます。このとき、()より、7で割り切れず、7で割り切れるので、予測はのときにも成立します。
以上より、
7で割り切れるためのnの条件は、
n3で割ったときの余りが1でない自然数であること” ......[]
別解.上記の(2)では、(1)も使わず、与えられた漸化式だけを用いて解答しましたが、もちろん、(1)の結果を利用しても、また、の一般項を求めても、解答できます。
(1)の結果を利用するのであれば、を与えられた漸化式の第1式に代入して、
 ・・・⑥


これで、7で割り切れることが言えます。
の一般項を求めるのであれば、⑥をで割り、
これは、数列階差数列であることを意味します。よって、
 ()
 (のときも成り立ちます)
これで、7で割り切れることが言えます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/10(火) 03:19:09|
  2. 09年数学
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