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阪府大工数学'09年[5]

大阪府立大工数学'09[5]

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分を計算し、aq を用いて表せ。
(2) 極限が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。
(3) (2)の条件を満たすaに対して、極限aを用いて表せ。
(4) (2)の条件を満たすaに対して、極限aを用いて表せ。なお、であるすべてのxに対して
が成り立つことを用いてもよい。

解答 (4)が問題ですが、(3)を使って考えようとするとうまく行きません。問題文のヒントを利用し、面倒な計算を経て、はさみうちすることになります。
なお、“”という条件は、
(4)のみに対する条件でよいのではないか、と、思われます。

(1)
 (積和の公式を利用。三角関数の諸公式を参照)

......[
]

(2) とおくと、のとき
より、
のとき、 (極限の公式を参照)より、極限が正の値に収束するためには、まず、,即ち、a2以上の整数であること()が必要。
逆に、
a2以上の整数であるとき、より、とすると、
であるためには、さらにaが奇数であることが必要で、a3以上の奇数であるとき、
より、確かに正の値に収束します。よって、求めるaの条件は、
a3以上の奇数であること ......[]

(3) a3以上の奇数のとき、より、
 (加法定理を参照)
のとき、
......[]

(4) まず、a3以上の奇数であること、を用いて、(1)の計算結果に出てくるを直します。より、


(1)より、
 ・・・①
の中にという形が出てくるのですが、(3)の結果をそのまま使うのでは、の形になってうまく行きません(不定形の極限を参照)
そこで、問題文のヒントの利用を考えることになります。であることに注意して、問題文のヒントで、とすることにより、
 ・・・②
 ・・・③
に注意して、×②より、
 ・・・④
×③より、
 ・・・⑤
④,⑤を辺々加えることにより、

 ・・・⑥
従って、①を用いて、
より、⑥の各辺をで割って、
ここで、とすると、

......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/06(金) 16:48:15|
  2. 09年数学
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