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同志社大理工数学'09年[4]

同志社大理工数学'09[4]

双曲線Cについて次の問いに答えよ。
(1) Cの漸近線の方程式を記せ。
(2) mを任意の実数として、直線が曲線Cに接していないことを示せ。
(3) Aを通るCの接線の方程式をすべて求めよ。
(4) C上にない点Pを通るCの接線がちょうど2本あって、2本の接線が直交するとき、pqがみたすべき条件を求めよ。

解答 楕円の直交2接線の交点の軌跡は準円と呼ばれる円:になることがよく知られていて入試でも頻出ですが、双曲線ではどうか、という問題です。

双曲線C ・・・①
は、右図黒色実線のように、x軸をはさんで、の部分との部分に分かれている曲線です(水色の直線は漸近線)

(1) Cの漸近線は、Cの方程式①の右辺の0にすることによって得られます。
......[]

(2)  ・・・②
①,②を連立しyを消去して、
 ・・・③
のときには、③を満たす
xは存在しません。つまり、直線②はCと接点も交点ももちません。
のときには、となり、これは重解ではないので、直線②は
C2交点をもちます(グラフで確認してください)
よって、直線が曲線
Cに接することはありません。

(3) Aを通りx軸に垂直なCの接線はありません。そこで、傾きをmとして、Aを通る直線を、
 ・・・④
とおいて、①と連立します。

これは、のときにx2次方程式になります。
Cと④は接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式について、
 (を満たします)
④より、Aを通る接線は、
......[]

(4) 計算の手間はほとんど変わらないので、を用いて、双曲線を、
 ・・・⑤
として計算することにします。本問では、です。
Pを通りx軸に垂直な⑤の接線はありません。そこで、傾きをmとして、Pを通る直線を、
 ・・・⑥
とおいて、⑤と連立します。
 (以下、をひとくくりにして計算するのがコツです)

これは、のときにx2次方程式になります。
⑤と⑥は接するので、この
2次方程式は重解をもちます。判別式について、


 ・・・⑦
⑦をmに関する2次方程式と見ると、2解をとして、2接線は直交するので、解と係数の関係を用いて、
 ・・・⑧
であれば、これは
Pが原点を中心とし、半径の円周上の点であることを意味し、楕円の場合に対応する結果となります。
ところで、,つまり、直線が漸近線に平行になるときには、直線は、双曲線と
1交点をもつか、交点をもたないかのいずれかで、接することはありません。
⑦を
m2次方程式と見るとき、を解にもてないので、

 ・・・⑨
本問では、⑧,⑨においてとして、
かつ ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/11/04(水) 22:41:18|
  2. 09年数学
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