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東京理科大理(数理)数学'09年[1]

東京理科大理(数理)数学'09[4]

対数を自然対数とする。数列 ()
により定める。ただし、とする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 曲線x軸および2直線で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をとする。を求めよ。
(4) (3)で求めたに対して、を求めよ。
(5) (3)で求めたに対して、不等式
 ()
が成り立つことを証明せよ。

解答 数学Ⅲの範囲全般にわたる計算問題です。

(1)

 (C:積分定数) ・・・① (三角関数の積分を参照)
これより、
よりとなるので、

より、
......[]

(2) ①より、
よりとなるので、
......[]

(2)の結果を用いて、
......[]

(4) のとき、
 (数列の極限を参照)
......[]

(5)



のとき、より、
 (証明終)
別解.の形から、が従う3項間漸化式を考えます。
2解とする2次方程式は、
この2次方程式を特性方程式とする3項間漸化式は、
 ・・・②
です。そこで、②が成立するかどうか確かめてみると、


となるので、②が成立します。に対して、よりですが、より、となるので、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/10/12(月) 21:30:14|
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