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長岡技科大数学'09年[2]

長岡技科大数学'09[2]

とする。とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) を示せ。
(2) を示せ。
(3) ()で定義される数列をとする。を求めよ。

解答 分数タイプの漸化式に従う数列の極限を求める問題ですが、一般項を求めるのではなく、不等式を導いて、はさみうちに持ち込む、という誘導がついています。

(1)


(2) より、
より
 ・・・①
また、より
 ・・・②
①,②より、

(3) (2)の結果において、とすることにより、
この不等式を繰り返し用いることによって、

より、とすると、
よって、
はさみうちの原理により、
......[]

追記1 ()で定義される数列の一般項を考えてみます。
aとおくことにより、
 ・・・③
分母を払って、

このaの値を用いて、とおくと、
よって、は、初項:,公比:等比数列です。

より、

追記2.関数について考えてみます。
または においては、です。また、においては単調に減少します。とくに、において、
 ・・・④
③より、を解くと、となりますが、においてはとなり、なので、の方を考えることにします。
平均値の定理より、
または
を満たす実数cが存在します。
においてはなので、であれば、であり、は、
nを大きくしていくとき、を満たしながら単調に減少していきます。なので、であることに注意してください。
においてはなので、であれば、であり、は、
nを大きくしていくとき、を満たしながら単調に増加していきます。より、であることに注意してください。
これより、のときはのときはとすると、より、

これより、
のとき,はさみうちの原理より、

となります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/09/17(木) 18:06:45|
  2. 09年数学
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