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金沢大理系数学'09年後期[5]

金沢大理系数学'09年後期[5]

mnを自然数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数において単調に減少することを示せ。
(2) のとき、が成り立つことを示せ。
(3) を満たすnをすべて求めよ。
(4) k2以上の自然数とする。かつを満たす自然数の組の個数を求めよ。

解答 「を満たす異なる自然数の組を求めよ」という頻出問題であれば、
より、において単調増加において単調減少であることから、
となります。本問題は、これをもじった問題ですが、(4)は細かい場合分けが必要でなかなか面倒です。

(1)
 (商の微分法を参照)
において、より、
よって、において
単調減少です。

(2) (1)より、

m
nは自然数なので、 (対数関数を参照)

(3)  ・・・①
(1)より、においては単調減少ですが、
においては単調増加です。
従って、
(しかありませんが)であれば、
また、より、であれば、
より、
以上より、①を満たす
nは、 ......[]

(4) まず、かつであれば、(2)より、
より
 ・・・②
ここで、より、
 ・・・③
となりますが、②を考慮して、とすると、 (このときに、②を満たすmは存在しません)
そこで、の場合と、の場合を別に考えることにします。
また、のとき、を満たす自然数
nは存在しません。従って、のみ考えれば十分です。 ・・・④
のとき、とすると、は必ず成立します。 ・・・⑤
また、のとき、
(3)より、以外に、であれば、が成立します。よって、,つまり、のときには、②より、
 ・・・⑥
であれば、が成立します。
(i) のとき、を満たす自然数の組は、のみなので、④より、
(ii) のとき、ですが、④,⑤より、
(iii) のとき、ですが、では、は成立せず、④,⑤より、
(iv) のとき、であれば、が成立し、
(v) のとき、②を満たすmが存在しないことに注意して、の場合のみ、が成立し、
(vi) のとき、③が成立するので、⑥を満たす場合、及び、⑤よりとなる場合に、が成立します。また、⑥に出てくるが整数になるかどうか、つまり、kが偶数か奇数かで場合分けします。
(a) kが奇数のとき、⑥ を満たすmは、個あります。
の場合と合わせて、
 ・・・⑦
(b) kが偶数のとき、⑥ を満たすmは、個あります。
の場合と合わせて、
 ・・・⑧
(ii)(iv)の場合も⑦が成立し、(i)(iii)の場合も⑧が成立するので、以上より、
kが奇数のときk6以外の偶数のときのとき ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/09/15(火) 04:51:25|
  2. 09年数学
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