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空間における2直線の位置関係

空間における2直線の位置関係

この項目については、間ベクトを参照してください。
空間における2直線の位置関係は、右図のような
(i) 交わる (ii) 平行 (iii) ねじれの位置
3通り。

(i) 空間における2直線
l ・・・①
m ・・・②
は、①式、②式のxyzを等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
③と④から、

③より、
となるのですが、は、⑤を満たします。
のとき、①では、
のとき、②でも、
となります。
ということは、直線lmともに、点を通るということであって、2直線lmは、点において交わるということを意味します。

空間における平行でない2直線は、必ずしも交点を持ちません。
を直線lm上を動く点の位置ベクトル、を直線lm上の1定点の位置ベクトル、を直線lmの方向ベクトル、tsを実数だとして、2直線lmのベクトル方程式が、
l
m
と表せたとします。
2直線lmが交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・⑥
が成り立ちます。
ここで、mと同じ方向ベクトルの直線があったとして、直線が直線lと交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・⑦
が成り立ちます。⑦-⑥より、

 ・・・⑧
⑧式の右辺は平面のベクトル方程式の形をしていて、⑧式は、で張られるある平面上の点の位置ベクトルであることを意味しています。
従って、がこの平面上に存在しないときには、直線lと直線は交点を持たないのです。このときには、⑦式を満たすが存在しません(後述)
また、空間内で交わる2直線lmは、ともに、というベクトル方程式の平面上に存在します(面のベクトル方程を参照)

(ii) 空間における2直線が平行であってかつ、同一の直線でない場合、この2直線は交点を持ちません。

(iii) 空間における2直線
l ・・・①
m ・・・②
は、①式、②式のxyzを等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
③と④から、

③より、
ですが、は⑤式を満たしません。
とまり、直線l上の点と直線m上の点が同一の点になることはあり得ないのです。これは、この2直線が交点を持たないことを意味します。このような2直線の位置関係を「ねじれの位置」と言います。
l上の点m上の点との距離dを考えてみます。

 
右辺を展開して整理すると、

これをtに関する2次式と見て方完すると、

さらに、残りの部分をsについても平方完成すると、

ですから、となります。ですから、2直線lm上の点はもっとも近い点同志の距離がであって、ここからの2直線が交わらないことがわかります。
となるのは、,つまり、のときです。
このとき、①より、
②より、
l上の点とm上の点との距離の最小値を与える2点は、l上のPm上のQです。
ここで、この2点を結ぶベクトルは、lmの方向ベクトルに対して、
つまり、は、直線l,直線mの双方と垂直です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/07/19(水) 21:50:15|
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