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阪大理系数学'09年後期[4]

阪大理系数学'09年後期[4]

abcを実数とする。とおく。2つの関数のグラフが異なる2PQを共有している。さらに点Pでの2つのグラフの接線が一致し、点Qでの2つのグラフの接線は直交しているとする。これらの条件を満たすようにabcを変化させるとき、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sの最小値を求めよ。

解答 面積計算は、定積分の公式を利用します。

PQx座標をpqとします。
Pでの2つのグラフの接線が一致するので、点P2曲線は接します。また、点Q2曲線が交わるので、を連立すると、重解,解が得られます。よって、
 ・・・①
係数を比較することにより、
 ・・・②
①を用いて、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sは、,いずれの場合もありうることと、,あるいは、において、であることに注意して、

 ・・・③
微分すると、
より、両曲線の点Qにおける接線の傾きは、
Qにおいて、両曲線の接線が直交することより、
②より、
ここで、③を見ているとSで表されるので、が出てくるように式変形します。
のとき、より、曲線の接線の傾きは0ですが、2次関数のグラフの接線がx軸に垂直になることはないので、題意より、です。よって、
③に代入すると、相加平均・相乗平均の関係より、
 (不等号の等号成立は,つまり、のとき)
よって、Sの最小値: ......[]

追記.整関数(xの多項式で表される関数)のグラフのにおける接線が一致するときに、方程式:を重解にもつことを示しておきます。
まず、における接線が一致することから、

 (傾きが一致する) ・・・④
 
(接点のy座標が一致する) ・・・⑤
xの多項式で表される関数で、です。
で割った余り
(x1次式、あるいは、定数) (CDは定数),商をとすると、
 ・・・⑥
xで微分して、
④より、
よって、
⑥より、
⑤より、
よって、
従って、を重解にもちます。



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/08/18(火) 07:53:33|
  2. 09年数学
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