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岐阜大数学'09年[1]

岐阜大数学'09[1]

abmを正の実数とする。xy平面上の点Aから直線へ下ろした垂線の足をとし、x軸に関してと対称な点をPとする。また、点Bから直線へ下ろした垂線の足をとし、y軸に関してと対称な点をQとする。以下の問いに答えよ。
(1) PQのそれぞれの座標を求めよ。
(2) 線分PQ21に内分する点をRとするとき、Rの座標を求めよ。
(3) mの範囲を動くとき、Rの軌跡を求め、図示せよ。

解答 軌跡に関する基本問題です。軌跡の範囲に注意しましょう。

(1) 直線は、直線に垂直なので、傾きは (2直線の平行・垂直を参照),方程式は、
 (直線の方程式を参照)
と連立すると、
Px座標はx座標と一致し、y座標はy座標の符号を変えたもの(座標平面における対称を参照)で、
P ......[]
直線の傾きも,方程式は、
と連立すると、
Qy座標はy座標と一致し、x座標はx座標の符号を変えたもので、
Q ......[]

(2) PQ21に内分する点Rx座標は、
 ・・・① (座標平面における内分・外分を参照)
 ・・・②
R ......[]

(3) ,つまり、のとき、Rx座標、y座標は0で、Rは原点に来ます。
のとき、②÷①より、
 ・・・③
これを①に代入すると、
よりなので、xで割って分母を払うと、

これは、中心,半径の円(円の方程式を参照)で、原点以外に、x軸とはy軸とはで交わります。
③より、
Rは、直線上の点であることがわかりますが、のとき、直線は、第2象限と第4象限、及び、原点しか通りません。従って、Rの軌跡も、第2象限、第4象限、及び、原点の範囲内に限られます。
求める軌跡は、円:の間で原点側の部分
(両端は含まない)、図示すると右図黒色太線(白マルを除く) ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/08/17(月) 11:15:56|
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