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豊橋技科大数学'09年[1]

豊橋技科大数学'09[1]

二つの数列が次のように定義されている。
 ()
以下の問いに答えよ。
(1) 数列の一般項を求めよ。
(2) 数列が等比数列となるとき、kの値を求めよ。ただし、とする。
(3) (2)で求めたkの値を用いて、数列の一般項を求めよ。
(4) (1)(3)の結果を用いて、数列およびの一般項を求めよ。

解答 連立漸化式の基本問題です。連立漸化式の主要な解法は、
解法1等比数列の形を2通り作る。
解法23項間漸化式に持ち込む。
解法3行列の累乗を利用する。
3通りあります。本問では、解法1で解くように誘導がついています。最後に、別解として、解法2,解法3でもやってみます。

 ・・・①
 ・・・②

(1) ①-②より、
 ()
数列は、初項:,公比:等比数列です。
......[] ・・・③

(2) ①+②×kより、
 ()
として、
 ・・・④
ここで、であれば、は公比の等比数列になります。
 ・・・⑤
より、 ......[]
注.⑤を解くとという解も得られますが、のときには、(1)の等比数列になります。数列が等比数列になるというヒントがなくても、数列が等比数列になるようにkの値を定めれば、(1)の等比数列の形が得られることに注意してください。

(3) のとき、④は、
数列は、初項:,公比:8の等比数列です。
......[] ・・・⑥

(4) ③×2+⑥より、
......[]
⑥-③より、
......[]

別解13項間漸化式に持ち込んで解答してみます。まず、①において、として、
を消去することを考えます。
①の
nとして、
②を代入すると、
 ・・・⑦
①より、
 ・・・⑧
⑦に代入して、
 ・・・⑨
特性方程式:


は、初項:,公比:の等比数列です。
 ・・・⑩

は、初項:,公比:8の等比数列です。
 ・・・⑪
⑪-⑩より、

⑧に代入して、

別解2行列の累乗を利用してみます。①,②を行列を使って書くと、
とすると、なので、を求めます。行列の累乗はスペクトル分解によるのが便利です。
単位行列を
E,零行列をOとして、ハミルトン・ケーリーの定理より、
 ・・・⑫
これより、行列A固有値8をもつことがわかります。この2つの固有値を使って、

をみたす行列PQを求めると、
 ・・・⑬
 ・・・⑭
⑫より、
また、より、
,・・・,
これらを用いて、

これより、⑬,⑭を用いて、


注.(2)の⑤が重解をもつ場合(このとき、3項間漸化式の特性方程式も重解をもちます。また、⑫もの形となり、固有値は1個だけになります)、例えば、

 ・・・⑮
 ・・・⑯
のような場合、⑮+⑯×kより、
 () ・・・⑰
のときが等比数列となります。


のとき、⑰は、
は、初項:,公比:2の等比数列です。
このときには、等比数列の形を2通り作ることができません。⑮において、
 ・・・⑱
より、
で割って、
は、初項:,公差:の等差数列で、

⑱より、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/08/16(日) 19:26:38|
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