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神戸大経済数学'09年後期[1]

神戸大経済数学'09年後期[1]

xyを正の実数とする。△ABCにおいて、とする。辺AB1yに内分する点をD,辺AC1xに内分する点をE,線分CD,線分BEの交点をPとする。さらに、直線APと辺BCの交点をFとおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) xyを用いて表せ。
(2) xyを用いて表せ。
(3) xyをみたしながら動くとき、の最小値を求めよ。

解答 平面ベクトルの基本問題です。

(1)
BPEは一直線上にあるので、sを実数として、
 ・・・① (平面ベクトルの応用を参照)
CPDは一直線上にあるので、tを実数として、
 ・・・②
一次独立なので、①,②のの係数は一致します。
 ・・・③
 ・・・④
③より、
④に代入して、
①より、
......[]
別解.メネラウスの定理より、

DPPC = y


(2) APFは一直線にあるので、kを実数として、
 ・・・⑤
FBC上の点なので、

⑤に代入すると、
......[]
別解.チェバの定理より、

BFFC = yx

(3) (2)の結果で、として、

 (内積を参照)
のときに最小値をとります。
の最小値は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/08/13(木) 09:36:49|
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