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名大理系数学'09年前期[1]

名大理系数学'09年前期[1]

とする。点Aを中心とする半径rの円が、双曲線2BCで接しているとする。ただし、とする。ここで、双曲線と円が点Pで接するとは、Pが双曲線と円との共有点であり、かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。
(1) rstabを用いて表せ。
(2) ABCが正三角形となるarが存在するようなbの値の範囲を求めよ。

解答 bの値をいろいろと変えて、どういう双曲線のときに正三角形ができるか感じをつかんでおくと、(2)の意味がつかめるでしょう。

(1) 双曲線 ・・・①
Aを中心とする半径r ・・・②
が①,②の共有点であることから、
 ・・・③
 ・・・④
①をxで微分すると(陰関数の微分法を参照)
のときには、
()における接線の傾きは、
 ・・・⑤
②をxで微分すると、
のときには、
()における接線の傾きは、
 ・・・⑥
双曲線と円は点Bで接するので、⑤と⑥は一致します。

双曲線は、より、の部分に存在するのでです。よって、

 ・・・⑦
ところで、のとき、と③よりですが、における双曲線の接線はx軸に垂直な直線です。における双曲線の接線はx軸に垂直な直線です。が円の接線になるとき、中心のy座標:となってしまうため、という条件下では、で双曲線と円が接することはありません。
また、のとき、円の接線は
x軸に垂直になりますが、⑤より、双曲線の接線の傾きはで、双曲線の接線はx軸に垂直ではなく、双曲線と円が接することはありません。
⑦のとき、です。よって、
......[]
③より、
より、
......[]
④より、
より、
......[]

(2) ABCが正三角形のとき、なので、です。よって、




のとき左辺は0ですが右辺は正なのでです。
 ・・・⑧
より、
より、
 ・・・⑨
逆に⑨が成り立つとき、⑧によってaを定めれば、(1)の結果を用いて、となるようなrを得ることができます。
よって、求める
bの範囲は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/08/08(土) 09:39:44|
  2. 09年数学
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