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茶女大理数学'09年[3]

茶女大理数学'09[3]

aを正の数とし、次のような条件をみたす四面体OABCを考える。

(1) とおく。aを用いて表せ。
(2) ABCの面積をaを用いて表せ。
(3) が四面体OABCのすべての面と接しているとする。この球の半径をaを用いて表せ。
(4) 四面体OABCのすべての頂点が球の表面上にあるとする。この球の半径をaを用いて表せ。

解答 難問というわけではないので、素直に空間的に考えて行きたい空間図形の問題です。

(1)
ABCにおいて余弦定理より、
......[]

(2) q は三角形の内角でなので、
ABC面積は、
......[]

(3) の中心をPとすると、四面体POAB,四面体POBC,四面体POAC,四面体PABCの高さはいずれも球の半径になります。
三角形OABの面積は、
より、三角形OBCの面積は、
三角形OACの面積は、
四面体PABC,四面体POAB,四面体POBC,四面体POACの体積の和は、四面体OABCの体積Vになります。

......[]

(4) の中心Qは、4頂点OABCから等距離の点です。
OAOBOCが互いに垂直であることと、Qが、OAOBOCの各中点を通り、それぞれ、OAOBOCに垂直な3平面の交点になることから、OQは、Oにつながる3辺の長さが2である直方体の対角線であって、求める半径OQは、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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