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球面のベクトル方程式

球面のベクトル方程式

中心の位置ベクトルが,半径rの球面上の点の位置ベクトルは、を満たします。
これが、ベクトルを用いた球面の方程式です。
ベクトルで扱うと、球面の方程式と(ベクトル)方程は全く同じ形をしています。

空間において、は球面上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、 ・・・① が球面を表すのは明らかでしょう。

として、①式で、成分表示を考え
①式両辺を2乗して、

 
 より、
①は、となります。
これは座標空間内で考えたときの球面の方程式です。

①式とは違った形をしていますが、空間内において、も球面を表します。
左辺を展開して、について方完と同様の操作を行うと、

 
 ・・・②
を点A,点Bの位置ベクトルだとして、は、2ABの中点の位置ベクトルです。2AB間の距離です。
従って、②式は、ABの中点を中心として、AB間の距離のを半径とする球面ということになります。これは、線分ABを直径とする球面です。
は、,つまり、球面上の点Pについて、であることを言っている式です。

HDPの位置ベクトルを、として、 ・・・③ は、Dを中心とする半径rの球面上の点Hにおける接平面を表します。
Hが球面上の点であることから、より、
よって、



これは、,つまり、接平面上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HDが垂直であることを意味しています。
として③を成分表示してみます。

 
 
よって、Dを中心とする半径rの球面:Hにおける接平面の方程式は、



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/07/17(月) 12:21:37|
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