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山梨大医数学'09年[3]

山梨大医数学'09[3]

abt ()を実数とする。2次正方行列A
とし、とする。自然数nに対して、
とおく。
(1) を満たすを求めよ。
(2) nabを用いて (pqは実数)の形に表せ。
(3) が成り立ち、が存在すると仮定する。このとき、を満たすがただ1つ存在することを示せ。さらに、このに対してを求めよ。

解答 行列式の計算が面倒な問題です。(2)では、ハミルトン・ケーリーの定理による次数下げを利用します。

(1)
より、
 ・・・①


のときには、よりが存在します(逆行列を参照)
①より、
......[]
のときには、よりは存在しません。
①より、 かつ
のときには題意をみたすuvは存在しません。
のとき、
よって、wを任意の実数として、
......[]

(2)
両辺にをかけて、
 ・・・②
ここで、3項間漸化式があるときに、
と変形するのと同様の式変形を行います。
これより、
 ・・・③
同様に、
 ・・・④
③-④より、
......[] ・・・⑤
つまり、とするとき、
 ・・・⑥

(3) のとき、
より、
 ・・・⑦
これより、
のとき、成分について、
のとき (等比数列の極限を参照)
が存在するので、 (に注意)
の形を見ると、aについても
のとき、
のとき
が存在するので、
いずれにしても、のとき ・・・⑧
より、
 ・・・⑨
⑦より、



⑥を用いて、

 ・・・⑩
⑧より,よって、が存在します。
⑨より、
 ・・・⑪
これより、を満たすがただ1つ存在します。
のとき、⑥,⑧より、
⑧,⑩より、
よって、
⑪より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/07/21(火) 07:31:49|
  2. 09年数学
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