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福島県立医大数学'09年[4]

福島県立医大数学'09[4]

n2以上の自然数とし、kn以下の自然数とする。座標平面上の原点Oのまわりにx軸を回転した直線をとし、と放物線との2つの交点のうち原点以外の点をとする。また、以下の自然数kについて、三角形の面積をとおく。以下の問いに答えよ。
(1) 不定積分を求めよ。
(2) すべてのについて、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3) 極限値を求めよ。

解答 はさみうちするときに、はさむものが区分求積法になる、という、極限の基本問題です。

(1)
とおくと、 (置換積分を参照)
(C:積分定数) ......[]

(2) 直線x軸のなす角はで、その傾きは
 ・・・①
放物線: ・・・②
①,②を連立すると、
①,②の2交点のうち原点以外の点x座標は、
()
②より、点の座標は
の座標は
より、
()
のとき、 (において増加関数)
よって、


(3) (2)の不等式をからまで辺々加え合わせることにより、
 ・・・③
ここでとすると、より、
 (区分求積法を参照)
とおくと、xのとき、q

結局、③において、
はさみうちの原理により、
......[]

追記.上記の区分求積法で、のとき、としているのを不思議に思う方がいらっしゃるかも知れません。
教科書では、で連続な関数
n個の和の極限について、
としています。
ですが、は有限な値なので、のとき、です。
であれば、個の和の極限について、


です。もっと極端なことを言えば、を満たす有限な整数mをとるとき、個の和の極限について、



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/07/19(日) 21:14:18|
  2. 09年数学
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