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東北大理系数学'09年前期[6]

東北大理系数学'09年前期[6]

実数aに対して、xの方程式
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。

解答 難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。
以下では、の場合はグラフから視覚的に判断できますが、の場合は判別式などを調べる必要があります。
なお、
2次関数2次方程式の一般論2次方程式の解の配置を参照してください。

 ・・・①
①の形のままでは、絶対値がついている上に、文字aを含むので大変です。
絶対値記号の内側は、で符号が変わるところとで符号が変わるところがそれぞれ
2カ所あることに目をつけて、①を、
 ・・・②
 ・・・③
の連立方程式と見ることにします。②,③とも、において絶対値記号の内側が符号を変えます。
②は、のとき、

のとき、
よって、②のグラフは右図のようになります。
③は、のとき、

 ・・・④
のとき、
 ・・・⑤
のとき、
 ・・・⑥
よって、③のグラフは、のとき、右図のようになります(のときは③はx軸に一致)。このとき、aがいかなる値であっても、のときとなることに注意します。つまり、③のグラフはaの値にかかわらず、点,点を通ります。
また、③は、のときのときとなるので、点,点を通ります
(この2点で折れ曲がります)
のとき③は
x軸に一致しますが、②はx軸と相異なる3個の共有点をもつので、不適です。以後、②の右辺をとおいて()の場合に分けて考えます。
(i) のとき
(a) において、③は、を通り、⑥より傾き ()の直線の一部になりますが、で、は増加なので、において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。
(b) において、③は、を両端とする傾き ()の線分で、であり、,つまり、のとき、点 (②のグラフとy軸との交点)を通ります。②のグラフはこの範囲で上に凸なので、③が点を通ることから、であれば、この範囲において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。
のとき、この範囲において、②と③のグラフは2個の共有点をもち、方程式①は2解をもちます。
(c) において、③は、を通り、傾き ()の線分で、はこの範囲で減少なので、のときには、において②と③は共有点をもたず、方程式①は解をもちません。
より、のときには、において②と③は共有点を1個もち、方程式①は1解をもちます。
以上より、方程式①が4解をもつのは、
 ・・・⑦
のときです。
(ii) のとき
(a) において、と④を連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、より、において、②と③は交点を
1個もち、方程式①は1解をもちます。
(b) において、と⑥を連立すると、

(左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、の軸:より、において、②と③は交点を
2個もち、方程式①は2解をもちます。
のときで、において、方程式①は
1(重解)をもちます。
のとき、において、方程式①は解をもちません。

()のとき、
のときには、より、において、方程式①は1解をもちます。
のときには、の軸:より、において、方程式①は解をもちません。
(c) において、と⑤を連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、において、方程式①は解をもちません。
のときで、において、方程式①は
1(重解)をもちます。
のときですが、の軸:より、
のときには、軸:より、において、方程式①は2解をもちます。
のときには、より、において、方程式①は1解をもちます。
各範囲の解の個数は、aの値に従って以下のようになります。

101
111
121
111
110
111
112

表より、方程式①が4解もつのは、 ・・・⑧
⑦,⑧より、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/07/06(月) 11:39:39|
  2. 09年数学
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