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一橋大数学'09年後期[2]

一橋大数学'09年後期[2]

abとなる実数とし、とおく。
(1) を示せ。
(2) 区間におけるの最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。

解答 3次曲線のグラフの特質を活かして解答しましょう。

よりの増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
a
b
00



とすると、
 ・・・①
注.なぜ、①のように因数分解できるか、と言えば、は極大値をもつので、x軸に平行な直線:と曲線で接していて、方程式:を重解にもつことがわかっているからです。の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解がだとわかります。
また、右図のように、とするとき、
ca(変曲点の位置)bdはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、とわかります。
また、同様に、とすると、


(1) であり、においては増加関数だから、

(2) なので、曲線は原点を通ることに注意します。
を考えるとき、となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。
(i) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点から下を通ります。
このとき、において、なのでであって、
最大値は,最小値はです。
(ii) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点よりも上を通ります。
このとき、よりであることに注意すると、方程式:にそれぞれ1pqをもちます。つまり、このとき、です。
において、となるのでであり、この範囲では、が最大になりますが、においては、の大きい方が最大値になります。そこで、の差を調べてみます。

これは、のとき正で、
のとき負で、
となります
(3次関数の最大最小を参照)
以上より、
(i) のとき、最大値:,最小値:
(ii) のとき、最大値:,最小値:
(iii) のとき、最大値:,最小値: ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/07/01(水) 22:20:12|
  2. 一橋大数学'09年
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