FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

九大理系数学'09年後期[3]

九大理系数学'09年後期[3]

Oを原点とするxyz空間内の点ABCをそれぞれABCとし、2ABを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) Pは直線上を動き、点Qy軸上を動くものとする。このとき、2PQとの距離の最小値を求めよ。また、PQとの距離が最小となるときのPQをそれぞれとする。の座標を求めよ。
(2) との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。
(3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。

解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
直線上の点Ptを実数として、直線ベクトル方程式
 ・・・①
y軸上の点Qの座標はqを実数として ・・・②


これは、 かつ のときに最小値2となります。
よって、
2PQの距離の最小値は、 ......[]
また、PQの距離の最小を与えるの座標は、を①,②に代入して、
......[] (つまりは原点Oです)
別解.本問ではQy軸上の点で座標が簡単なので、2文字tqで表しても大した計算にはなりませんが、の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。
y軸に平行で直線を含む平面pの法線ベクトルは、y軸にも直線にも垂直、つまり、ベクトルにもにも垂直です。両者の外積は、
となるので、平面pの法線ベクトルとして、平面pの方程式は、
 (cは定数)
となります。平面pは、点Aを通るので、
 ∴
これより、平面pの方程式は、
2PQの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面pとの距離は同じです)、例えば原点と平面pとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与えるの座標が求められません。
そこで、
PQの距離が最小になるときに、y軸にも直線にも垂直になるという事実を利用します。は、上記のようにして得られたに平行になるので、実数kを用いて、とおけます。①,②を用いて、
これより、

これで、の座標が求められます。

(2) Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、は、にもにも垂直だということです。
とおくと、


これより、とおけます。として、
より、
よって、
......[]

(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hy座標をuとすると、Fy座標もuです。①より、とおくと、
Fx座標、z座標は、より、Fの座標は
Dy座標をwとするとDの座標は
Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、y軸にもにも垂直で、

とおくと、

これより、とおけます。として、
より、

より、三角形DEFの面積は、
四面体
DEFGの体積は、高さはで、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/26(金) 14:25:18|
  2. 09年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<一橋大数学'09年後期[2] | ホーム | 徳島大数学'09年[4]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/910-5b975080
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。