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筑波大数学'09年[3]

筑波大数学'09[3]

を整式で表される関数とし、とおく。任意の実数xについて
が成り立つとする。
(1) が成り立つことを示せ。
(2) は定数または1次式であることを示せ。
(3) およびを求めよ。

解答 連立微分方程式のように見えますが、は整式、という指定がついているので、現行の高校学習指導要領の範囲内で解決します。なお、本問のような、を利用する問題では、定積分を0にするようなxの値を代入することにより、隠れた条件が出てくるので注意してください。本問でも、(3)bの値を決めるところで考えることになります。

 ・・・①
 ・・・②
(1) ①両辺をxで微分すると、
 ・・・③
②両辺をxで微分すると、
 ・・・④ (積の微分法定積分と微分(その2)を参照)
この形のまま微分すると、右辺の微分でが残って困ることになります。(1)は、①,②よりを消去することが目的なので、③を考慮して、④両辺にをかけ、
 ・・・⑤
この両辺をxで微分すると、
 ( )
両辺にをかけて、

(2) としてn次の整式とし、次以下の整式と定数aを用いて、
とおけたと仮定します。
(1)の等式に代入すると、
整理して、
 ・・・⑥
次以下、次以下の整式なので、⑥の以外の項は次以下の整式になります。⑥が任意の実数xについて成立するためには、の係数は0でなければなりません(恒等式を参照)。ですが、では、にせよ、にせよ、n()の整式であることに矛盾します。
よって、であり、は定数または
1次式です。

(3) (2)より、とおけて、
これらを(1)の等式に代入すると、
 ・・・⑦
①にを代入すると、 
(を代入するのは、①の定積分の値を0にするため)
⑤にを代入すると、

⑦より、
......[]
⑤より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/23(火) 13:27:19|
  2. 09年数学
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