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阪大理系数学'09年後期[2]

阪大理系数学'09年後期[2]

以下の問いに答えよ。
(1) が無理数であることを証明せよ。
(2) abを有理数とする。多項式を満たすとき、abを求めよ。
(3) n2以上の自然数とする。は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする。となるとき、を示せ。

解答 実数係数のn次方程式:

が、
pqを実数として、虚数解 ()をもてば、その共役複素数も解になることが知られています。
同様に、有理数を係数とする
n次方程式:

が、
pqを有理数、を無理数として、を解に持てば、も解になることを示そう、という問題です。なお、高次方程式を参照してください。
(1)については整数を、(3)については多項式の除算因数定理を参照してください。

(1) 背理法で示します。が有理数だとして、 (pqは互いに素な自然数)とおけたと仮定します。分母を払って2乗すると、
 ・・・①
右辺は
3の倍数なので、q3の倍数であり、

とおけます。①に代入し、
 ∴

右辺は3の倍数なので、p3の倍数になりますが、pqがともに3の倍数ということになり、pqが互いに素とした仮定と矛盾します。
よって、が有理数であるとした仮定は誤りで、は無理数です。
(証明終)

(2)

(1)を用いると、

......[]

(3) 数学的帰納法で示します。
() のとき、2次方程式で、(2)より、となる有理数係数の2次の多項式で最高次の係数が1となるものは、となりますが、は、を解にもつので、が成り立ちます。
() のとき、有理数係数のk次多項式で最高次の係数が1となるをみたすならばが成り立つと仮定します。
有理数係数の次多項式で最高次の係数が1となるをみたすとして、
 ・・・②
とおきます。両辺各項の係数を比較することにより、は有理数係数の
k次の多項式で最高次の係数が1,有理数cの係数です。

ですが、より、

または
(i) のとき、②より、

(ii) のとき、は有理数係数で最高次の係数が1k次の多項式なので、仮定によりです。よって②より、
いずれにしても、のときもが成り立ちます。
()()より、n2以上の自然数、を有理数係数で最高次の係数が1n次の多項式だとして、のとき、が成り立ちます。

追記.(3)を直接的な方法で考えてみます。
を計算するためには、の形の数を考える必要があります。
ですが、これを、
jが奇数の項と偶数の項に分けて足すことにより、という形に書くことができます。つまり、
 ・・・③
jが偶数のときは自然数で、も自然数なので、は自然数です。また、
より、です。
③の両辺に、をかけて、


より、連立漸化式
 ・・・④
が得られます。のでき方からして、であることが推測できますが、
 ・・・⑤
 ・・・⑥
であることから、という形の数列を考えてみると、
より、初項:,公比:等比数列なので、
よって、⑤,⑥より、
 ・・・⑦
(但し、は有理数)として、③より、
であれば、(1)より、
⑦より、
これで示せました。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/17(水) 19:31:17|
  2. 09年数学
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