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九大理系数学'09年後期[1]

九大理系数学'09年後期[1]

nを自然数とする。において定義された関数
について、以下の問いに答えよ。なお、必要ならば、任意の整数mについてが成り立つことを用いてよい。
(1) の導関数を求めよ。
(2) 関数を求めよ。
(3) のときのの間に成り立つ関係式を求めよ。
(4) nを用いて表せ。

解答 の定積分は、とおく(置換積分を参照)と、tのときuより、
 ・・・①
とできるので、この形の方が計算しやすいかも知れませんが、問題文中の式のままやってみます。マイナスがたくさんつくので慎重に計算する必要があります。

(1) ややこしくてミスし易いので、の原始関数を,つまり、として計算することにします(定積分の微分(その2)を参照)

......[]

(2)  (不定積分の公式を参照)


......[]

(3) 定積分の漸化式では、部分積分するのが定石です。




(4) (3)の漸化式を繰り返して用いることにより、


・・・・・・

 (但し、とします)
ここでとすると、問題文の指定により、 (関数の極限を参照)
......[]

追記.①の定積分で表されるpの関数:
をガンマ関数と言います。
自然数
nに対して、です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/14(日) 23:44:04|
  2. 09年数学
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