FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

横国大工数学09年後期[2]

横国大工数学'09[2]

次の問いに答えよ。
(1) をみたす正の整数xyの組をすべて求めよ。
(2) をみたす正の整数xyの組をすべて求めよ。
(3) を因数分解せよ。
(4) nを正の整数とする。をみたす正の整数xyが存在することを示せ。

解答 (4)では、(3)の利用の仕方で少々悩むかも知れません。
20097の倍数です。なお、整数因数分解を参照してください。

(1) です。
より、であって、以下の3つの場合に限られます。
(i)
連立して解くと、
(ii)
(iii)
......[]

(2) より、に限られます。
このうち、yが正の整数になるのは、の場合と、の場合のみです。
......[]

(3)


......[]

(4) (2)より、として、
 ・・・①
をかけて、
 ・・・②
となるので、①にをかけて、
とできないか、と、考えてみます。
これは、
となるので、
である必要がありますが、41がネックとなって、mを整数にできそうもありません。そこで、(3)をどうにかするのだろう、ということになります。
まず、②によると、の場合に、とすれば、
になるわけで、の場合には、をみたすxyが存在します。
の場合には、②を
2乗して、
 ・・・③
となりますが、ここで、(3)を使って、とすると、
とできるので、

とすれば、
 ・・・④
とできることになります。の場合にも、をみたす
xyが存在します。
の場合には、④の、
にさらに、②のをかけて行くことになります。
この左辺を、(3)を使って、として変形すると、
とできるので、の場合にも、をみたすxyが存在します。
あとは、この流れを、
連立漸化式を用いて、数学的帰納法の枠組みに入れればよいわけです。以下のような答案にまとめられるでしょう。

nを正の整数とするとき、をみたす正の整数が存在することを数学的帰納法により示す。
() のとき、とすれば、より、成り立つ。
() のとき、をみたす正の整数が存在すると仮定する。
つまり、
この両辺に、をかけると、
(3)において、とすると、
より、
()
とすれば、
よって、のときも、をみたす正の整数が存在する。
()()より、nを正の整数とするとき、をみたす正の整数が存在する。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/12(金) 18:37:07|
  2. 09年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<九大理系数学'09年後期[1] | ホーム | 広島大理系数学'09年[3]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/903-dd1af4c4
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。