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名工大数学'09年[2]

名工大数学'09[2]

楕円を原点を中心に反時計回りに角だけ回転して得られる曲線をCとする。
(1) 曲線Cの方程式を求めよ。
(2) 直線Cと共有点を持つような実数tの範囲を求めよ。
(3) すべての頂点がC上にあり、1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ。

解答 斜めの楕円を考えるのですが、楕円を斜めにしなくても、首を斜めにして楕円をそのままで考えることもできます。

楕円の方程式:
 ・・・①
原点を中心に反時計回りに角q だけ回転する1次変換を表す行列は、
です(1次変換(その2)を参照)。点
を施すと、
に来ます。

(1) 求める曲線Cの方程式はの関係式になりますが、既知の式はxyの関係式①なので、の逆変換により、xyを用いて、
と表し、これを①に代入するようにします。すると、
整理して、


曲線の方程式は、と書き換えて、
......[] ・・・②

(2) 本問では回転後の方程式を求めているので、(1)の結果を利用して解答しても良いのですが、一般的には、楕円を反時計回りに回転するのではなく、楕円をそのままにして、直線の方を回転して考える方が便利です。
直線x軸に平行な直線で傾き0ですが、原点を中心に反時計回りに回転すると、傾きはになります。
この
直線の方程式を、
 ・・・③
とおくと、原点との距離がなので、
 ・・・④ (点と直線の距離を参照)
③のcと④のtの符号は一致します。
直線③の
y切片cが変化し、楕円①と共有点をもつとき、その限界において、直線③が楕円に接します。接点をとして楕円①の接線は、
この傾きはの場合を除いて、

接点は①上の点なので、
(複号同順)
のとき、③,④より、
 ・・・⑤
のとき、③,④より、
 ・・・⑥
tが⑤と⑥の間の値をとるときに、直線Cと共有点をもちます。
......[]
別解.①と③を連立し、

 ・・・⑦
判別式:

とすることもできます。
また、②でとして、

判別式:
とすることもできます。

(3) (2)と同様に楕円を回転するのではなく、直線の方を回転して考えます。
問題文のx軸に平行な辺が乗っている直線をとすると、これを原点を中心に反時計回りに回転すると、③,④より、
 ・・・⑧
もう1頂点が楕円上を動くとき、三角形の面積が最大となるのは、この頂点における接線が⑧に平行、つまり接線の傾きがになるときです。傾きの接線は2本ありますが、このうち、三角形の面積が大きいのは、⑤,⑥より、もう1頂点が、のときにはのときにはのときです。
楕円①は
x軸に関して対称なので、の方だけを考えることにします。三角形の高さhは、と⑧との距離として、
三角形の底辺の長さdは、楕円①と直線③との交点のx座標の差にをかけたものになります。⑦の2解の差は、
底辺の長さは、
よって、三角形の面積Sは、
 ()
とおくと、
においてにおいてより、のときに最大(関数の増減を参照)で、
Sの最大値は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/09(火) 17:14:51|
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