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東北大理系数学'09年後期[4]

東北大理系数学'09年後期[4]

abcdを満たす実数、xについての3次式とする。で割った余りとで割った余りは一致するものとする。その余りをとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) とおくと、を満たす3次式であることを示せ。
(2) abcdのうち少なくとも2つは等しいことを示し、それを用いて、またはが成り立つことを示せ。
(3) 3次式
が条件を満たすとき、であることを示し、となることを示せ。

解答 
多項式の除算の問題ですが、文字と項の数が多いので面倒です。文字に関する対称性によく注意して式変形するようにしましょう。

(1) で割るときの商をとすると、余りがなので、
 ・・・①
で割るときの商をとすると、余りがなので、
 ・・・②
①より、
これより、
②より、
これより、
は、
2次式で割ったときの余りなので、1次式、もしくは定数です。
は、
3次式から1次式もしくは定数を引いた式なので、3次式です。
以上より、を満たす
3次式です。

(2) abcdが相異なる4実数だと仮定すると、3次方程式は高々3個の解しか持ち得ませんが、(1)より、なので、相異なる4実数解をもつことになってしまいます。ということは、abcdが相異なる4実数だとした仮定は誤りで、abcdのうち少なくとも2つは等しくなります(背理法を参照)
より、abcdの中に等しいものがあるとすれば、acか、あるいは、bdです。つまり、
または
です。

(3) で割ると、商は,余りはになります。つまり、
abに入れ替えると、同様に、
よって、
 ・・・①
また、
acbdを入れ替えることにより、
 ・・・②
①,②の
xの係数を比較して、
 ・・・③

より、


(2)
より、またはであれば、いずれにしても、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/06/05(金) 18:29:32|
  2. 09年数学
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