FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

早大教育数学'09年[4]

早大教育数学'09[4]

正の整数nに対して、集合の部分集合Mで条件
ならば
をみたすものを考える。このような集合Mに対してMの要素の個数をとするとき、の取りうる最大値をと表す。
次の問いに答えよ。

(1) n4の倍数のとき、が成り立つことを示せ。
(2) n4の倍数のとき、も成り立つことを示せ。
(3) を求めよ。

解答 (1)(2)は抽象的で考えづらい難問です。こうした問題は、程度として具体的に考えるようにします。
集合の部分集合Mで条件
ならば ・・・()
をみたすものというと、例えば、
は条件()を満たします。ですがです。
同様に、も条件
()を満たします。
のとき、
M1個の要素をもつので、です。
は条件
()を満たしません。のときとなってしまいます。
は条件
()を満たします。ならばならばとなっています。のときです。
も条件
()を満たします。このときです。
のとりうる最大値をとする」というのは、の場合、集合の部分集合をいろいろと考えて、条件
()をみたす部分集合を作ったときに、もっとも要素数の大きなものを考える、ということです。条件()をみたす部分集合Mの中に、12は同居せず、36は同居せず、というように考えて行くと、
のときのが最大要素数の部分集合になります。であれば、です。となるMは、他にも、などが考えられます。
そして、
(1)の問題文は、という不等式が成り立つことを示せ、と、言っているわけです。
というのは、集合の部分集合の中で条件
()をみたすものを考え、それらの中の最大要素数です。12は同居できないので、ということはあり得ません。条件()を満たすのは、で、です。
なので、は満たされています。
また、
(2)も満たされています。

さて、
(1)ですが、のとき、となる部分集合Mの中で、に注目します。この集合は、のときのを与える部分集合と、を満たす要素xから成る部分集合に分けることができます。の要素数は6なので、という不等式は、
のときに最大要素数を与える部分集合は、のときに最大要素数を与える部分集合の要素と、を満たす個の要素をすべて含んでいる。
と、言うことを示せばよいことになります。
一般の
nの場合を示すときには、以下とそれ以外とに分けて示すことになります。

(1) とします。
n4の倍数のときは正の整数で、集合は、の部分集合です。
の部分集合であって、条件
()を満たし (とおく)となる集合の要素はm個ありますが、それを小さい順に、,・・・,とします。
 ・・・①
また、,・・・, ・・・② です。
を満たす個の要素
xから成る集合は、条件()を満たします。つまり、であれば、です。
なぜなら、より、 ・・・③ となるからです。
ここで、を考えます。
,・・・,については、①より、であって、②を合わせて考えると、
,・・・,
また、,・・・,
nについては、③より、その2倍はの要素ではありません。
従って、のすべての要素について、であり、の部分集合で条件
()を満たします。また、より、
以上より、の部分集合Mで条件()を満たすものに対してMの要素の個数をとするとき、の取りうる最大値をとすれば、

(2) (1)に対し、の部分集合で条件()を満たしだとします。
つまり、は条件()を満たすの部分集合の中で最大要素数の集合(必ずしも一通りではありません)だとします。
の要素の中で以下の要素の個数を
kとすると、 ・・・④ です。
これを
背理法で示します。仮に、の要素の中で以下のものが個以上あるとして、そのうちのm個で集合を作ったとします(に入らない要素をbとします)。任意のについて、でもあるのでですが、であれば、 ()であって、(1)の集合の部分集合であって条件()を満たすので、,つまり、は条件()を満たす最大要素数の集合です。ところが、かつかつとなるbが存在し、,従ってなので、bを付け加えてできる集合もの部分集合であって条件()を満たしてしまいます。これは、が最大要素数の集合であることと矛盾します。よって、④が成り立ちます。
の要素の中で以上の要素の個数を
Kとすると、 ・・・⑤ です。
なぜなら、は、以上
n以下の整数の中では、を満たす奇数x (全部で個あります)と、を満たすy (個あります)について、y ()のいずれか1(yの中で同居しません)の計個,合わせて、個以外の要素を持ち得ないからです。
④,⑤より、


(3) (1)(2)より、n4の倍数のとき、
です。
4の倍数なので、
 (4の倍数)
・・・・・・
のとき、集合の部分集合で、条件()を満たす集合であって、要素数最大のものはで、です。
は、初項,公比4等比数列62項の和として、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/05/30(土) 10:03:24|
  2. 09年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<金沢大理系数学'09年[2] | ホーム | 横国大工数学'09年後期[3]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/896-ce6fe52a
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。