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横国大工数学'09年後期[3]

横浜国大工数学'09年後期[3]

xy平面上の領域で、方程式が表す曲線をCとする。正の数tに対して、直線Cと異なる2QRで交わるとき、次の問いに答えよ。
(1) Cを極座標に関する方程式で表し、rのとり得る値の最大値を求めよ。
(2) QRの座標をtを用いて表せ。
(3) 線分QRの長さが最大となるtの値を求めよ。

解答 なかなか素直に行かない微分の計算問題です。

(1) C ・・・①
に、 (より、)を代入する(極座標を参照)と、

のときには、
 ・・・②
ここで、とすれば
()となるので、②での場合を含んでいます。
注.現行の高校の教科書ではであることが想定されていて、の範囲においては、②でとなります。ですが、も許すことにする
(2象限、第3象限の部分にもグラフができます)と、極方程式②の表す曲線は右図のようになります。曲線Cに当たる部分を黒線、それ以外の部分を灰色の線で描きました。

②の右辺をとおくと、

 (商の微分法を参照)
この分子は、


より、においては増加、においては減少(関数の増減を参照)。よって、 ()の最大値は、
......[]

(2) ①を変形して、

 ・・・③
を代入して、
③より、
整理して、

相異なる2実数解をもつのは、根号内(判別式)が正のとき(2次方程式を参照)、つまり、のときで、問題文のという指定により、
このとき、
(複号同順)
よって、交点QRの座標は、 (複号同順) ......[]

(3) 直線③の傾きはなので、線分QRの長さは、QRx座標の差の絶対値の(直線の方程式を参照)で、

とおくと、
とすると、においては、
においては増加、においては減少。よって、線分
QRの長さ、即ち、を最大とするtの値は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/05/29(金) 12:21:31|
  2. 09年数学
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