FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

北大理系数学'09年前期[5]

北大理系数学'09年前期[5]

自然数nに対して
とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) で表せ。
(3) を求めよ。
(4) を求めよ。

解答 定積分の漸化式は、部分積分に持ち込むのが定石ですが、だけは、

を利用するので注意してください。

(2)で得られる漸化式で、としてみれば、(4)の形が見えてきて、全体のストーリーが見渡せます。

(1) ......[] (不定積分の公式を参照)

(2)

 (置換積分を参照)
......[]

(3) (2)で得られた漸化式で、として行くと、



・・・・・・
 ・・・①
となり、(4)の形が見えてくるので、(3)とやって、最後は、とするのだろう、という、この問題のストーリーが見渡せます。
①の形では、のときを示すのは大変です。
そこで、元の定積分の形を見ることになりますが、被積分関数のを何らかの不等式ではさむのだろう、というアイデアが湧きます。
においてなので、です。
各辺に積分記号をつけると、すべての自然数
nについて、
 ・・・②
(2)の不等式を利用すると、より、

ここでとすると、なので、はさみうちの原理より、
......[]
注.②のだけでは、が収束することはわかりますが、極限値がわかりません。のときに0に収束するものをもってきて上から抑えてやる必要があります。
のグラフがを通り、において下に凸であることを利用すると、においてという不等式が得られます。これより、
ここからも、が言えます。

(4)  ・・・③ を数学的帰納法で示しておきます。
() のとき、③において、となりますが、(1)の結果より成り立ちます。
() のとき、③が成り立つと仮定すると、
(2)の漸化式を用いて、


 (kの上端の値に注意)
よって、のときにも、③が成立します。
()()より、すべての自然数nについて、③が成り立ちます。
(3)より、のとき、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/05/26(火) 12:16:56|
  2. 09年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<阪大物理'09年後期[3] | ホーム | 静岡大理系数学'09年前期[1]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/893-3ffb5d9a
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。